विषय का संक्षिप्त परिचय
- इस ट्यूनिंग प्रणाली का विकास प्राचीन यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ पाइथागोरस (Pythagoras) द्वारा किया गया था।
- यह स्केल पूरी तरह से शुद्ध पंचम (Perfect Fifth - 3:2) और शुद्ध अष्टक (Perfect Octave - 2:1) के गणितीय अनुपातों पर आधारित है।
- पाश्चत्य संगीत के इतिहास में यह स्वर-नियोजन का पहला वैज्ञानिक और व्यवस्थित प्रयास माना जाता है।
अवधारणा 1
पाइथागोरियन ट्यूनिंग और अंतराल
पाइथागोरियन स्केल में स्वरों की स्थापना शुद्ध गणितीय अनुपातों और अंतराल चक्र के आधार पर की जाती है।
व्याख्या
- इस प्रणाली में मुख्य रूप से शुद्ध पंचम (Perfect Fifth) अंतराल का उपयोग किया जाता है जिसका अनुपात 3:2 होता है।
- अष्टक (Octave) का अनुपात 2:1 होता है जिसके माध्यम से स्वरों को एक ही सप्तक में लाया जाता है।
- चक्र के आधार पर स्वरों को क्रमिक रूप से ऊपर या नीचे स्थापित किया जाता है।
- यह विधि अनुनाद और प्राकृतिक स्वर-श्रृंखला (Harmonic Series) के सिद्धांतों के बहुत निकट है।
- इस ट्यूनिंग में अधिकांश स्वर पंचम भाव के गणितीय संचरण से प्राप्त होते हैं।
मुख्य बिंदु
- शुद्ध पंचम अनुपात: 3:2
- अष्टक अनुपात: 2:1
- गणितीय अनुपात पर पूर्ण निर्भरता
- प्राकृतिक स्वर श्रृंखला का प्रारंभिक आधार
उदाहरण / प्रयोग:
- C से G का अंतराल (3:2 अनुपात)
- C से उच्च C का अष्टक अंतराल (2:1 अनुपात)
तुलना:
- यह सम टेम्पर्ड स्केल की तरह बराबर नहीं होता है।
- इसमें अंतराल के अनुपात निश्चित गणितीय भिन्नों में होते हैं।
सामान्य भ्रांतियाँ:
- यह सोचना कि पाइथागोरियन स्केल आधुनिक पियानो ट्यूनिंग के समान है।
- यह मानना कि इसमें सभी अर्धस्वर समान होते हैं।
परीक्षा-केंद्रित बिंदु:
- शुद्ध पंचम का अनुपात (3:2) परीक्षा में अक्सर पूछा जाता है।
- अष्टक का अनुपात (2:1) याद रखना आवश्यक है।
- इस स्केल के प्रवर्तक का नाम पाइथागोरस है।
अवधारणा 2
पंचम चक्र (Cycle of Fifths)
पंचम चक्र पाइथागोरियन स्केल के निर्माण की मुख्य गणितीय विधि है।
व्याख्या
- पंचम चक्र (Cycle of Fifths) में स्वरों को 3:2 के अनुपात में लगातार ऊपर की ओर जोड़ा जाता है।
- कुल 12 पंचम का क्रम तय करने पर यह चक्र लगभग पूरा होता है।
- चूंकि 12 पंचम (3/2 के घात 12) और 7 अष्टक (2 के घात 7) बिल्कुल बराबर नहीं होते, इसलिए एक सूक्ष्म अंतर उत्पन्न होता है।
- इस अंतर को पाइथागोरियन कोमा (Pythagorean Comma) कहा जाता है।
- यह चक्र पाश्चत्य संगीत सिद्धांत की रीढ़ माना जाता है।
मुख्य बिंदु
- लगातार 3:2 अनुपात का प्रयोग
- 12 स्वरों की स्थापना की विधि
- सप्तक सीमाओं के भीतर स्वरों का समायोजन
- चक्र का समापन मूल स्वर पर
उदाहरण / प्रयोग:
- C से G, G से D, D से A का क्रम
- 12 पंचमों की श्रृंखला का निर्माण
तुलना:
- यह आधुनिक सर्किल ऑफ फिफ्थ्स से ट्यूनिंग गणित के मामले में भिन्न है।
- इसमें प्रत्येक स्वर का अनुपात स्वतंत्र रूप से निकाला जाता है।
सामान्य भ्रांतियाँ:
- यह भ्रम कि पंचम चक्र हमेशा के लिए अनंत रूप से दोहराया जा सकता है बिना किसी त्रुटि के।
- यह सोचना कि चक्र में कोई गणितीय विसंगति नहीं होती।
परीक्षा-केंद्रित बिंदु:
- पंचम चक्र में कुल 12 चरणों का महत्व।
- पंचम चक्र से जुड़े गणितीय अनुक्रम।
- चक्र के निर्माण की प्रक्रिया।
अवधारणा 3
पाइथागोरियन कोमा (Pythagorean Comma)
पाइथागोरियन कोमा बारह शुद्ध पंचमों और सात शुद्ध अष्टकों के बीच का सूक्ष्म गणितीय अंतर है।
व्याख्या
- जब बारह शुद्ध पंचम (3:2) लिए जाते हैं, तो उनकी कुल आवृत्ति सात शुद्ध अष्टकों (2:1) से थोड़ी अधिक हो जाती है।
- इस सूक्ष्म अंतर या अंतराल को पाइथागोरियन कोमा (Pythagorean Comma) कहा जाता है।
- इसका गणितीय मान लगभग 531441 : 524288 होता है।
- यह संगीत के इतिहास में पहली पहचानी गई ट्यूनिंग विसंगति थी।
- इस कोमा के कारण ही पाइथागोरियन स्केल में सभी कुंजियाँ (Keys) समान रूप से मधुर नहीं बजती थीं।
मुख्य बिंदु
- परिभाषा: 12 पंचम और 7 अष्टक का अंतर
- गणितीय अनुपात: लगभग 1.0136
- संगीत इतिहास की पहली ट्यूनिंग समस्या
- कुंजी परिवर्तन में कठिनाई का कारण
उदाहरण / प्रयोग:
- (3/2)^12 और (2)^7 के बीच का अंतर
- C-sharp और D-flat के बीच का सूक्ष्म अंतर
तुलना:
- यह सिंटोनिक कोमा (Syntonic Comma) से भिन्न होता है।
- यह पाइथागोरियन सिस्टम की अपनी विशिष्ट विशेषता है।
सामान्य भ्रांतियाँ:
- यह मानना कि पाइथागोरियन कोमा को पूरी तरह से समाप्त किया जा सकता है बिना ट्यूनिंग बदले।
- इसे साधारण स्वर दोष समझना।
परीक्षा-केंद्रित बिंदु:
- पाइथागोरियन कोमा की परिभाषा परीक्षा के लिए अति महत्वपूर्ण है।
- 12 पंचम बनाम 7 अष्टक का संबंध याद रखें।
- कोमा का संगीत ट्यूनिंग पर प्रभाव।
अवधारणा 4
पाइथागोरियन मेजर थर्ड (Pythagorean Major Third)
पाइथागोरियन स्केल में मेजर थर्ड का अंतराल आधुनिक शुद्ध मेजर थर्ड की तुलना में थोड़ा बड़ा होता है।
व्याख्या
- पाइथागोरियन प्रणाली में मेजर थर्ड (Major Third) दो पूरे स्वरों (Whole Tones) के योग से बनता है।
- इसका गणितीय अनुपात 81:64 होता है जो शुद्ध न्यायसंगत ट्यूनिंग (Just Intonation) के 5:4 अनुपात से थोड़ा अधिक होता है।
- इस बड़े अनुपात के कारण पाइथागोरियन मेजर थर्ड में एक प्रकार की तीव्र गूंज या तीखापन होता है।
- इसे पाश्चत्य संगीत में 'डिटोनी' (Ditone) भी कहा जाता है।
- यह सामंजस्य (Harmony) की दृष्टि से थोड़ा कसा हुआ महसूस होता है।
मुख्य बिंदु
- मेजर थर्ड अनुपात: 81:64
- दो पूरे स्वरों (9:8 × 9:8) का संयोजन
- शुद्ध 5:4 अनुपात से भिन्नता
- डिटोनी (Ditone) के रूप में प्रसिद्धि
उदाहरण / प्रयोग:
- C से E का पाइथागोरियन अंतराल
- दो 9:8 के टोन का गुणन (81:64)
तुलना:
- जस्ट इंटonation के 5:4 अनुपात की तुलना में यह तीखा होता है।
- सम टेम्पर्ड स्केल के मेजर थर्ड से इसका गणितीय मान अलग होता है।
सामान्य भ्रांतियाँ:
- यह सोचना कि सभी मेजर थर्ड अंतराल सभी प्रणालियों में एक समान होते हैं।
- यह मानना कि 81:64 अनुपात ही एकमात्र सही मेजर थर्ड है।
परीक्षा-केंद्रित बिंदु:
- मेजर थर्ड का अनुपात 81:64 याद रखें।
- इसे 'डिटोनी' कहा जाता है, यह प्रश्न बन सकता है।
- शुद्ध ट्यूनिंग से इसका अंतर।
अवधारणा 5
पाइथागोरियन होल टोन (Pythagorean Whole Tone)
पाइथागोरियन स्केल में पूरे स्वर (Whole Tone) का निश्चित अनुपात 9:8 होता है।
व्याख्या
- यह अंतराल दो शुद्ध पंचमों (3:2) के संयोजन से एक अष्टक नीचे आकर प्राप्त होता है।
- इसका मानक गणितीय अनुपात 9:8 होता है जो संगीत विज्ञान में 'पाइथागोरियन टोन' कहलाता है।
- यह स्केल के भीतर एक बड़े पूर्ण स्वर के रूप में कार्य करता है।
- इस टोन की सहायता से स्केल के अन्य स्वर निर्धारित किए जाते हैं।
- यह प्राकृतिक स्वर श्रृंखला के दूसरे और तीसरे स्वरों के बीच के अंतराल पर आधारित है।
मुख्य बिंदु
- होल टोन का अनुपात: 9:8
- दो पंचमों के संचरण से निर्मित
- पाश्चत्य संगीत में मानक पूर्ण स्वर
- गणितीय रूप से स्थिर अंतराल
उदाहरण / प्रयोग:
- C से D का अंतराल (9:8 अनुपात)
- D से E का अंतराल
तुलना:
- यह जस्ट इंटonation के 9:8 टोन के समान होता है लेकिन बड़े संदर्भ में भिन्न हो सकता है।
- अर्धस्वर (Semitone) से यह गणितीय रूप से बड़ा होता है।
सामान्य भ्रांतियाँ:
- यह भ्रम कि सभी होल टोन पाइथागोरियन प्रणाली में पूर्णतः समान भागों में विभाजित होते हैं।
- इसे आधुनिक अर्धस्वर समझना।
परीक्षा-केंद्रित बिंदु:
- होल टोन का 9:8 अनुपात परीक्षा की दृष्टि से अनिवार्य है।
- इसके निर्माण का आधार।
- संगीत में इसका उपयोग।
अवधारणा 6
पाइथागोरियन अर्धस्वर या लिम्मा (Limma)
पाइथागोरियन स्केल में अर्धस्वर को 'लिम्मा' (Limma) कहा जाता है जिसका अनुपात 256:243 होता है।
व्याख्या
- पाइथागोरियन प्रणाली में अर्धस्वर आधुनिक सम टेम्पर्ड अर्धस्वर से काफी छोटा होता है।
- इसे गणितीय रूप से 'लिम्मा' (Limma) कहा जाता है जिसका अनुपात 256:243 है।
- यह एक चौथाई या पारंपरिक अर्धस्वर से भिन्न होता है जो एक चौथाई टोन जैसा प्रतीत होता है।
- यह एक पूर्ण टोन (9:8) और दो पाइथागोरियन मेजर थर्ड या अन्य अंतरालों के संतुलन से बचता है।
- गायन और वादन में यह अर्धस्वर बहुत तीखा और संकुचित महसूस होता है।
मुख्य बिंदु
- लिम्मा (Limma) का अनुपात: 256:243
- पाइथागोरियन अर्धस्वर की विशिष्ट पहचान
- आधुनिक अर्धस्वर से भिन्नता
- संतुलित अंतराल निर्माण में भूमिका
उदाहरण / प्रयोग:
- E से F का पाइथागोरियन अंतराल
- B से C का अंतराल
तुलना:
- यह आधुनिक सम टेम्पर्ड अर्धस्वर से छोटा होता है।
- इसे एपोटोम (Apotome) से अलग माना जाता है।
सामान्य भ्रांतियाँ:
- यह सोचना कि लिम्मा और एपोटोम एक ही अंतराल हैं।
- यह मानना कि यह आधुनिक सेमीटोन के बराबर है।
परीक्षा-केंद्रित बिंदु:
- लिम्मा का अनुपात 256:243 परीक्षा के लिए बहुत महत्वपूर्ण है।
- पाइथागोरियन अर्धस्वर का नाम लिम्मा है।
- इसका अन्य अंतरालों से संबंध।
अवधारणा 7
ऐतिहासिक महत्व और सीमाएँ
पाइथागोरियन स्केल ने पाश्चत्य संगीत के सैद्धांतिक विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई, किंतु इसकी अपनी सीमाएँ थीं।
व्याख्या
- यह प्राचीन यूनान में संगीत और गणित के संबंध को स्थापित करने वाला पहला प्रमुख सिद्धांत था।
- मध्यकालीन चर्च संगीत (Gregorian Chant) और प्रारंभिक बहुसंवाद (Polyphony) में इसका व्यापक उपयोग हुआ।
- इसकी सबसे बड़ी सीमा यह थी कि इसमें सुरीले कॉर्ड्स (Chords) जैसे मेजर थर्ड और माइनर थर्ड अपूर्ण या तीखे लगते थे।
- कुंजी परिवर्तन (Modulation) करने पर यह स्केल पूरी तरह से असंतुलित हो जाता था।
- इन्हीं सीमाओं के कारण आगे चलकर मीनटोन (Meantone) और अंततः सम टेम्पर्ड स्केल (Equal Temperament) का विकास हुआ।
मुख्य बिंदु
- संगीत और गणित का पहला सफल समन्वय
- मध्यकालीन पाश्चत्य संगीत का आधार
- मेजर और माइनर थर्ड में अपूर्णता
- मॉड्यूलेशन में असमर्थता
उदाहरण / प्रयोग:
- मध्यकालीन पालयोफिनिक संगीत
- ग्रेगोरियन गान (Gregorian Chant) की ट्यूनिंग
तुलना:
- आधुनिक सम टेम्पर्ड स्केल की तुलना में यह मॉड्यूलेशन के लिए अनुपयुक्त था।
- जस्ट इंटोनेशन की तुलना में यह शुद्ध पंचम पर अधिक केंद्रित था।
सामान्य भ्रांतियाँ:
- यह सोचना कि पाइथागोरियन स्केल आज के समय में भी आधुनिक संगीत में उपयोग होता है।
- यह मानना कि इसकी कोई सीमा नहीं थी।
परीक्षा-केंद्रित बिंदु:
- पाइथागोरियन स्केल की सीमाएं और उनका समाधान (Equal Temperament)।
- मध्यकालीन संगीत में इसका योगदान।
- ऐतिहासिक क्रम में इसका स्थान।