Mensuration 2D: Circle properties, Area & Sector Area Mensuration 2D: Circle properties, Area & Sector Area
Study guide for Mensuration 2D: Circle properties, Area & Sector Area (UPSC Civil Services Prelims & Mains). Access key concepts, syllabus details, prep checklist, and interactive practice questions. Study guide for Mensuration 2D: Circle properties, Area & Sector Area (UPSC Civil Services Prelims & Mains). Access key concepts, syllabus details, prep checklist, and interactive practice questions.
UPSC Civil Services FoundationUPSC सिविल सेवा आधारभूत अध्ययन
Mensuration 2D: Circle properties, Area & Sector Area
Study guide for Mensuration 2D: Circle properties, Area & Sector Area (UPSC Civil Services Prelims & Mains). Access key concepts, syllabus details, prep checklist, and interactive practice questions.
Core Provisionsमुख्य प्रावधान
Core Concepts & Provisionsमुख्य अवधारणाएँ एवं संवैधानिक प्रावधान
Pointwise Study Notesबिंदुवार अध्ययन नोट्स
- Basic Definitions and Terminology of a Circle: A circle is the locus of a point moving in a plane at a constant distance (radius, r) from a fixed point (centre). Key terms include chord (a line segment joining any two points on the circle), diameter (the longest chord passing through the centre, equal to 2r), secant (a line intersecting the circle at two points), and tangent (a line touching the circle at exactly one point).
- Perimeter or Circumference of a Circle: The circumference (C) is the total length of the boundary of the circle. It is calculated using the formula C = 2 * pi * r, or equivalently C = pi * d, where d is the diameter. The mathematical constant pi (pi) is approximately equal to 22/7 or 3.14159 for CSAT calculations.
- Area of a Circle: The area (A) enclosed by a circle is the two-dimensional space occupied within its boundary. It is given by the formula A = pi * r^2. If the radius is doubled, the area increases by a factor of four (2^2), a common scaling relationship frequently tested in CSAT quantitative aptitude questions.
- Properties of Chords and Perpendiculars: A perpendicular drawn from the centre of a circle to a chord bisects the chord. Conversely, the line joining the centre to the midpoint of a chord is perpendicular to the chord. Equal chords are equidistant from the centre of the circle, and subtend equal angles at the centre.
- Tangent Properties and Angles: A tangent at any point of a circle is perpendicular to the radius through the point of contact. From any external point, exactly two tangents can be drawn to a circle, and the lengths of these tangents from the external point to the points of contact are equal.
- Angle Subtended by an Arc at the Centre and Circumference: The angle subtended by an arc at the centre of a circle is double the angle subtended by it at any point on the remaining part of the circumference. Angles in the same segment of a circle are equal, and the angle in a semi-circle is always a right angle (90 degrees).
- Cyclic Quadrilateral Properties: A cyclic quadrilateral is a quadrilateral with all four vertices lying on the circumference of a circle. The opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary, meaning their sum equals 180 degrees. Additionally, the exterior angle is equal to the interior opposite angle.
- Definition and Perimeter of a Sector: A sector is a region of a circular disc enclosed by two radii and an arc. The arc length (l) of a sector forming an angle theta (in degrees) at the centre is given by l = (theta / 360) * 2 * pi * r. The total perimeter of a sector is the sum of the arc length and the two bounding radii (l + 2r).
- Area of a Circular Sector: The area of a sector with a central angle theta (in degrees) is proportional to the total area of the circle. It is calculated using the formula Area = (theta / 360) * pi * r^2. Alternatively, if the arc length (l) and radius (r) are known, the area of the sector can be found using Area = (1/2) * l * r.
- Segment of a Circle: A segment of a circle is the region bounded by a chord and the corresponding arc lying between the chord's endpoints. The area of a minor segment is calculated by subtracting the area of the triangle formed by the two radii and the chord from the area of the corresponding sector.
- वृत्त की आधारभूत परिभाषाएँ और शब्दावली: वृत्त एक समतल में एक स्थिर बिंदु (केंद्र) से निरंतर दूरी (त्रिज्या, r) पर गतिमान बिंदु का बिंदुपथ है। मुख्य शब्दों में जीवा (वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड), व्यास (केंद्र से होकर गुजरने वाली सबसे लंबी जीवा, जो 2r के बराबर होती है), छेदक रेखा (वृत्त को दो बिंदुओं पर काटने वाली रेखा), और स्पर्श रेखा (वृत्त को ठीक एक बिंदु पर छूने वाली रेखा) शामिल हैं।
- वृत्त का परिमाप या परिधि: परिधि (C) वृत्त की सीमा की कुल लंबाई है। इसकी गणना C = 2 * pi * r सूत्र का उपयोग करके की जाती है, या इसके समतुल्य C = pi * d, जहाँ d व्यास है। गणितीय स्थिरांक pi (पाई) का मान CSAT गणनाओं के लिए लगभग 22/7 या 3.14159 के बराबर होता है।
- वृत्त का क्षेत्रफल: वृत्त द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल (A) उसकी सीमा के भीतर व्याप्त द्वि-आयामी स्थान है। यह A = pi * r^2 सूत्र द्वारा दिया जाता है। यदि त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाए, तो क्षेत्रफल चार गुना (2^2) बढ़ जाता है, जो CSAT मात्रात्मक अभियोग्यता प्रश्नों में अक्सर पूछा जाने वाला एक सामान्य स्केलिंग संबंध है।
- जीवाओं और लंबों के गुण: वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इसके विपरीत, केंद्र को जीवा के मध्य बिंदु से जोड़ने वाली रेखा जीवा पर लंब होती है। समान जीवाएँ वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर होती हैं और केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं।
- स्पर्श रेखा के गुण और कोण: वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा, संपर्क बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है। किसी भी बाहरी बिंदु से वृत्त पर ठीक दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं, और बाहरी बिंदु से संपर्क बिंदुओं तक इन स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
- चाप द्वारा केंद्र और परिधि पर अंतरित कोण: वृत्त के केंद्र पर किसी चाप द्वारा अंतरित कोण, परिधि के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर उसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। वृत्त के एक ही खंड में बने कोण बराबर होते हैं, और अर्धवृत्त में बना कोण हमेशा समकोण (90 डिग्री) होता है।
- चक्रीय चतुर्भुज के गुण: चक्रीय चतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसके चारों शीर्ष वृत्त की परिधि पर स्थित होते हैं। चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनका योग 180 डिग्री होता है। इसके अतिरिक्त, बाह्य कोण आंतरिक सम्मुख कोण के बराबर होता है।
- त्रिज्यखंड (सेक्टर) की परिभाषा और परिमाप: त्रिज्यखंड एक वृत्ताकार डिस्क का वह क्षेत्र है जो दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा होता है। केंद्र पर थीटा (डिग्री में) कोण बनाने वाले त्रिज्यखंड की चाप लंबाई (l) का सूत्र l = (theta / 360) * 2 * pi * r है। त्रिज्यखंड का कुल परिमाप चाप की लंबाई और दो परिबद्ध त्रिज्याओं का योग (l + 2r) होता है।
- वृत्ताकार त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल: केंद्रीय कोण थीटा (डिग्री में) वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल वृत्त के कुल क्षेत्रफल के समानुपाती होता है। इसकी गणना Area = (theta / 360) * pi * r^2 सूत्र का उपयोग करके की जाती है। वैकल्पिक रूप से, यदि चाप की लंबाई (l) और त्रिज्या (r) ज्ञात हो, तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल Area = (1/2) * l * r का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।
- वृत्त का वृत्तखंड (सेगमेंट): वृत्त का वृत्तखंड वह क्षेत्र है जो एक जीवा और जीवा के अंतिम बिंदुओं के बीच स्थित संबंधित चाप से घिरा होता है। लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल, संबंधित त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से दो त्रिज्याओं और जीवा द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाकर निकाला जाता है।