Algebra: Linear Equations in One & Two Variables Algebra: Linear Equations in One & Two Variables
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Algebra: Linear Equations in One & Two Variables
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Core Provisionsमुख्य प्रावधान
Core Concepts & Provisionsमुख्य अवधारणाएँ एवं संवैधानिक प्रावधान
Pointwise Study Notesबिंदुवार अध्ययन नोट्स
- Definition of Linear Equations: A linear equation is an algebraic equation in which the highest power of the variable (or variables) involved is strictly one. When plotted on a Cartesian plane, its graph always forms a straight line.
- Standard Form of Linear Equations in One Variable: An equation of the form ax + b = 0, where 'a' and 'b' are real numbers, and a ≠ 0. Here, 'x' is the only variable. This equation has a unique solution given by x = -b/a.
- Standard Form of Linear Equations in Two Variables: An equation of the form ax + by + c = 0, where 'a', 'b', and 'c' are real numbers, and both 'a' and 'b' are not simultaneously zero (a² + b² ≠ 0). Here, 'x' and 'y' are the two variables.
- Graphical Representation of Linear Equations in Two Variables: Every linear equation in two variables represents a straight line in a two-dimensional coordinate system. Every point on the line is a solution to the equation, and every solution corresponds to a point on the line.
- System of Two Linear Equations in Two Variables: A pair of linear equations in two variables can be represented generally as a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0. Solving such a system means finding the common values of 'x' and 'y' that satisfy both equations simultaneously.
- Consistent and Inconsistent Systems: A system of linear equations is called 'consistent' if it has at least one solution (either unique or infinite). It is called 'inconsistent' if it has no solution at all.
- Conditions for Solutions of a Pair of Linear Equations: For the system a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0: (1) Unique solution if a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ (intersecting lines, consistent); (2) Infinitely many solutions if a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ (coincident lines, consistent); (3) No solution if a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ (parallel lines, inconsistent).
- Method of Substitution: An algebraic method to solve a pair of linear equations where one variable is expressed in terms of the other from one equation, and this expression is substituted into the second equation to reduce it to a single variable equation.
- Method of Elimination: An algebraic technique to solve simultaneous linear equations by multiplying the equations by suitable non-zero constants so that the coefficients of one of the variables become equal in magnitude, allowing that variable to be eliminated through addition or subtraction.
- Method of Cross-Multiplication: A formula-based algebraic method derived from the elimination method for solving a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0, expressed as x / (b₁c₂ - b₂c₁) = y / (c₁a₂ - c₂a₁) = 1 / (a₁b₂ - a₂b₁).
- Word Problems and Practical Applications in CSAT: Linear equations frequently appear in CSAT as word problems based on ages, speeds and distances, upstream and downstream movements, work and time, and monetary transactions. The key skill is translating natural language statements into mathematical equations.
- रैखिक समीकरणों की परिभाषा: रैखिक समीकरण एक बीजीय समीकरण है जिसमें शामिल चर (या चरों) की उच्चतम घात अनिवार्य रूप से एक होती है। कार्तीय तल (Cartesian plane) पर आलेखित किए जाने पर, इसका ग्राफ हमेशा एक सीधी रेखा बनाता है।
- एक चर वाले रैखिक समीकरणों का मानक रूप: ax + b = 0 के रूप का समीकरण, जहाँ 'a' और 'b' वास्तविक संख्याएँ हैं, और a ≠ 0 है। यहाँ, 'x' एकमात्र चर है। इस समीकरण का एक अद्वितीय हल होता है जो x = -b/a द्वारा दिया जाता है।
- दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का मानक रूप: ax + by + c = 0 के रूप का समीकरण, जहाँ 'a', 'b', और 'c' वास्तविक संख्याएँ हैं, और 'a' तथा 'b' दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं (a² + b² ≠ 0)। यहाँ, 'x' और 'y' दो चर हैं।
- दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का ग्राफीय निरूपण: दो चरों वाला प्रत्येक रैखिक समीकरण द्वि-आयामी निर्देशांक प्रणाली में एक सीधी रेखा को दर्शाता है। रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु समीकरण का एक हल होता है, और प्रत्येक हल रेखा पर एक बिंदु के अनुरूप होता है।
- दो चरों वाले दो रैखिक समीकरणों का निकाय: दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के एक युग्म को सामान्यतः a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के रूप में दर्शाया जा सकता है। ऐसे निकाय को हल करने का अर्थ 'x' और 'y' के उन सामान्य मानों को ज्ञात करना है जो दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करते हैं।
- संगत और असंगत निकाय: रैखिक समीकरणों के निकाय को 'संगत' (consistent) कहा जाता है यदि उसका कम से कम एक हल हो (अद्वितीय या अनंत)। इसे 'असंगत' (inconsistent) कहा जाता है यदि उसका कोई भी हल न हो।
- रैखिक समीकरणों के युग्म के हलों के लिए शर्तें: निकाय a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के लिए: (1) अद्वितीय हल यदि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ (प्रतिच्छेदी रेखाएँ, संगत); (2) अनंत हल यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ (संपाती रेखाएँ, संगत); (3) कोई हल नहीं यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ (समांतर रेखाएँ, असंगत)।
- प्रतिस्थापन विधि: रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करने की एक बीजीय विधि जिसमें एक समीकरण से एक चर को दूसरे चर के पदों में व्यक्त किया जाता है, और इस व्यंजक को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करके उसे एक चर वाले समीकरण में बदल दिया जाता है।
- विलोपन विधि: युगपत रैखिक समीकरणों को हल करने की एक बीजीय तकनीक जिसमें समीकरणों को उपयुक्त गैर-शून्य स्थिरांकों से गुणा किया जाता है ताकि किसी एक चर के गुणांक परिमाण में समान हो जाएं, जिससे जोड़ या घटाव के माध्यम से उस चर को विलुप्त किया जा सके।
- वज्र-गुणन विधि: a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 को हल करने के लिए विलोपन विधि से व्युत्पन्न एक सूत्र-आधारित बीजीय विधि, जिसे x / (b₁c₂ - b₂c₁) = y / (c₁a₂ - c₂a₁) = 1 / (a₁b₂ - a₂b₁) के रूप में व्यक्त किया जाता है।
- CSAT में इबारती प्रश्न और व्यावहारिक अनुप्रयोग: CSAT में रैखिक समीकरण अक्सर आयु, गति और दूरी, धारा के अनुकूल और प्रतिकूल गति, कार्य और समय, तथा मौद्रिक लेन-देन पर आधारित इबारती प्रश्नों के रूप में दिखाई देते हैं। मुख्य कौशल प्राकृतिक भाषा के कथनों को गणितीय समीकरणों में अनुवादित करना है।