Algebra: Quadratic Equations & Roots Algebra: Quadratic Equations & Roots
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Algebra: Quadratic Equations & Roots
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Core Provisionsमुख्य प्रावधान
Core Concepts & Provisionsमुख्य अवधारणाएँ एवं संवैधानिक प्रावधान
Pointwise Study Notesबिंदुवार अध्ययन नोट्स
- Standard Form of a Quadratic Equation: A quadratic equation is a second-order polynomial equation in a single variable x, written in the standard form as ax² + bx + c = 0, where a, b, and c are real numbers and the leading coefficient 'a' must not be equal to zero (a ≠ 0). If a = 0, the equation degenerates into a linear equation.
- Roots or Solutions of a Quadratic Equation: The values of the variable x that satisfy the quadratic equation (i.e., make the equation true when substituted) are called the roots or solutions of the equation. Since a quadratic equation has a degree of two, it possesses exactly two roots, which may be real and distinct, real and equal, or complex/imaginary numbers.
- Solving by Factorization (Splitting the Middle Term): Factorization involves rewriting the quadratic expression ax² + bx + c as a product of two linear factors (px + q)(rx + s) = 0. This is done by splitting the middle term 'bx' into two parts whose sum is 'b' and whose product is equal to ac. Setting each linear factor to zero yields the roots of the equation.
- The Quadratic Formula: Any quadratic equation in the standard form ax² + bx + c = 0 can be solved universally using the quadratic formula: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). This formula is derived through the method of completing the square and is especially useful when factorization by inspection is difficult.
- The Discriminant: The expression under the square root in the quadratic formula, denoted by D or Δ = b² - 4ac, is called the discriminant. The value of the discriminant determines the nature and character of the roots of a quadratic equation without actually calculating the roots themselves.
- Nature of Roots Based on the Discriminant: If D > 0, the roots are real and distinct (unequal). If D = 0, the roots are real and equal (coincident). If D < 0, the roots are non-real complex conjugates. Furthermore, if a, b, and c are rational numbers and D is a perfect square, the roots are rational; if D is not a perfect square, the roots are irrational and occur in conjugate pairs.
- Relationship Between Roots and Coefficients (Vieta's Formulas): If α and β are the two roots of the quadratic equation ax² + bx + c = 0, then standard algebraic relationships exist between the roots and the coefficients: the sum of the roots (α + β) = -b/a, and the product of the roots (αβ) = c/a.
- Forming a Quadratic Equation from Given Roots: If the roots α and β of a quadratic equation are known, the equation can be directly constructed using the formula x² - (Sum of Roots)x + (Product of Roots) = 0, which expands to x² - (α + β)x + αβ = 0.
- Maximum and Minimum Values of Quadratic Expressions: A quadratic expression y = ax² + bx + c represents a parabola graphically. If a > 0, the parabola opens upwards, and the expression has a minimum value at x = -b/(2a), with the minimum value given by (4ac - b²)/(4a). If a < 0, the parabola opens downwards, and the expression has a maximum value at the same x coordinate.
- Common Roots of Two Quadratic Equations: If two quadratic equations share one common root, a specific algebraic consistency condition applies. For equations a₁x² + b₁x + c₁ = 0 and a₂x² + b₂x + c₂ = 0, the condition for them to have a common root can be derived by equating the cross-multiplication determinants of their coefficients: (c₁a₂ - c₂a₁)² = (a₁b₂ - a₂b₁)(b₁c₂ - b₂c₁).
- द्विघात समीकरण का मानक रूप: द्विघात समीकरण एक चर x में द्वितीय-कोटि का बहुपद समीकरण है, जिसे मानक रूप ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जाता है, जहाँ a, b, और c वास्तविक संख्याएँ हैं और अग्रणी गुणांक 'a' शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए (a ≠ 0)। यदि a = 0 है, तो समीकरण एक रैखिक समीकरण में बदल जाता है।
- द्विघात समीकरण के मूल या हल: चर x के वे मान जो द्विघात समीकरण को संतुष्ट करते हैं (अर्थात, प्रतिस्थापित करने पर समीकरण को सत्य बनाते हैं), समीकरण के मूल या हल कहलाते हैं। चूँकि द्विघात समीकरण की घात दो होती है, इसलिए इसके ठीक दो मूल होते हैं, जो वास्तविक और भिन्न, वास्तविक और समान, या सम्मिश्र/काल्पनिक संख्याएँ हो सकते हैं।
- गुणनखंड विधि द्वारा हल (मध्य पद को विभाजित करना): गुणनखंडन में द्विघात व्यंजक ax² + bx + c को दो रैखिक गुणनखंडों (px + q)(rx + s) = 0 के गुणनफल के रूप में फिर से लिखना शामिल है। यह मध्य पद 'bx' को दो भागों में विभाजित करके किया जाता है जिनका योग 'b' हो और जिनका गुणनफल ac के बराबर हो। प्रत्येक रैखिक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर समीकरण के मूल प्राप्त होते हैं।
- द्विघाती सूत्र: मानक रूप ax² + bx + c = 0 में किसी भी द्विघात समीकरण को द्विघाती सूत्र का उपयोग करके सार्वभौमिक रूप से हल किया जा सकता है: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)। यह सूत्र पूर्ण वर्ग बनाने की विधि के माध्यम से व्युत्पन्न किया गया है और तब विशेष रूप से उपयोगी होता है जब निरीक्षण द्वारा गुणनखंडन कठिन हो।
- विविक्तकर (Discriminant): द्विघाती सूत्र में वर्गमूल के नीचे के व्यंजक को, जिसे D या Δ = b² - 4ac द्वारा दर्शाया जाता है, विविक्तकर कहा जाता है। विविक्तकर का मान मूलों की गणना किए बिना ही द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति और स्वरूप को निर्धारित करता है।
- विविक्तकर के आधार पर मूलों की प्रकृति: यदि D > 0 है, तो मूल वास्तविक और भिन्न (असमान) होते हैं। यदि D = 0 है, तो मूल वास्तविक और समान (संपाती) होते हैं। यदि D < 0 है, तो मूल अवास्तविक सम्मिश्र संयुग्मी होते हैं। इसके अतिरिक्त, यदि a, b, और c परिमेय संख्याएँ हैं और D एक पूर्ण वर्ग है, तो मूल परिमेय होते हैं; यदि D पूर्ण वर्ग नहीं है, तो मूल अपरिमेय होते हैं और संयुग्मी युग्मों में आते हैं।
- मूलों और गुणांकों के बीच संबंध (विएटा के सूत्र): यदि α और β द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के दो मूल हैं, तो मूलों और गुणांकों के बीच मानक बीजीय संबंध मौजूद होते हैं: मूलों का योग (α + β) = -b/a, और मूलों का गुणनफल (αβ) = c/a।
- दिए गए मूलों से द्विघात समीकरण बनाना: यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल α और β ज्ञात हैं, तो समीकरण को सीधे सूत्र x² - (मूलों का योग)x + (मूलों का गुणनफल) = 0 का उपयोग करके बनाया जा सकता है, जो विस्तारित होकर x² - (α + β)x + αβ = 0 हो जाता है।
- द्विघात व्यंजकों के अधिकतम और न्यूनतम मान: एक द्विघात व्यंजक y = ax² + bx + c ग्राफीय रूप से एक परवलय (parabola) को दर्शाता है। यदि a > 0 है, तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है, और व्यंजक का न्यूनतम मान x = -b/(2a) पर होता है, जिसका न्यूनतम मान (4ac - b²)/(4a) द्वारा दिया जाता है। यदि a < 0 है, तो परवलय नीचे की ओर खुलता है, और व्यंजक का अधिकतम मान उसी x निर्देशांक पर होता है।
- दो द्विघात समीकरणों के उभयनिष्ठ मूल: यदि दो द्विघात समीकरणों का एक मूल उभयनिष्ठ (common) है, तो एक विशिष्ट बीजीय संगति स्थिति लागू होती है। समीकरणों a₁x² + b₁x + c₁ = 0 और a₂x² + b₂x + c₂ = 0 के लिए, उनके उभयनिष्ठ मूल होने की स्थिति उनके गुणांकों के वज्र-गुणन सारणिकों को बराबर करके प्राप्त की जा सकती है: (c₁a₂ - c₂a₁)² = (a₁b₂ - a₂b₁)(b₁c₂ - b₂c₁)।