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Part-1 (9): Data Interpretation & Statistical Analysis | Central Tendency & Inferences भाग-1 (9): डाटा इंटरप्रिटेशन एवं सांख्यिकीय विश्लेषण | केंद्रीय प्रवृत्ति एवं निष्कर्ष

Statistical Analysis & Diagrammatic Inferences सांख्यिकीय विश्लेषण एवं आरेखीय निष्कर्ष

Comprehensive study guide covering Mean, Median, Mode, Standard Deviation, Frequency Polygons, Cumulative Ogives, and sound deductive inferences from diagrams for UPSSSC Intermediate Level Mains. माध्य, माध्यिका, बहुलक, मानक विचलन, आवृत्ति बहुभुज, संचयी आवृत्ति तोरण (ओजाइव) व आरेखों से तार्किक निष्कर्ष निकालने हेतु विस्तृत अध्ययन नोट्स व अभ्यास प्रश्न।

1. Measures of Central Tendency (Mean, Median & Mode) 1. केंद्रीय प्रवृत्ति के माप (माध्य, माध्यिका एवं बहुलक)

Empirical Formula Alert: For moderately skewed unimodal frequency distributions, remember Pearson's empirical relationship: Mode = 3 × Median - 2 × Mean (or Mode - Mean = 3 × (Median - Mean)). This is asked in nearly every UPSSSC exam! अनुभवजन्य सूत्र चेतावनी: असममित आवृत्ति वितरण के लिए पियर्सन का सूत्र याद रखें: बहुलक = 3 × माध्यिका - 2 × माध्य। यह प्रश्न लगभग प्रत्येक यूपीएसएसएससी परीक्षा में पूछा जाता है!
  • Arithmetic Mean (माध्य) For ungrouped data: X̄ = (∑ x) / n. For grouped frequency distribution: X̄ = (∑ f_i × x_i) / (∑ f_i), where x_i is the class mark (midpoint of class interval = (Lower limit + Upper limit) / 2). अवर्गीकृत डेटा के लिए: X̄ = (∑ x) / n। वर्गीकृत बारंबारता बंटन के लिए: X̄ = (∑ f_i × x_i) / N, जहाँ x_i वर्ग चिह्न (वर्ग अंतराल का मध्य बिंदु = (निम्न सीमा + उच्च सीमा) / 2) है।
  • Median (माध्यिका) The positional middle value after arranging data in ascending order.
    • If n is odd: Median = [(n + 1) / 2]th term.
    • If n is even: Median = Average of (n/2)th and [(n/2) + 1]th terms.
    • For Grouped Continuous Data: Median = L + [((N/2) - cf) / f] × h (where L = lower limit of median class, N = ∑ f, cf = cumulative frequency of preceding class, f = frequency of median class, h = class width).     डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर ठीक बीच का मान।
    • यदि n विषम है: माध्यिका = [(n + 1) / 2]वाँ पद।
    • यदि n सम है: माध्यिका = [(n/2)वें पद और ((n/2) + 1)वें पद का औसत]।
    • वर्गीकृत सतत डेटा: माध्यिका = L + [((N/2) - cf) / f] × h।
  • Mode (बहुलक) The most frequently occurring value in the dataset.
    • For Grouped Data: Mode = L + [(f1 - f0) / (2f1 - f0 - f2)] × h (where L = lower limit of modal class, f1 = frequency of modal class, f0 = frequency of preceding class, f2 = frequency of succeeding class, h = class width).     दिए गए आँकड़ों में सर्वाधिक बार आने वाला मान।
    • वर्गीकृत डेटा: बहुलक = L + [(f1 - f0) / (2f1 - f0 - f2)] × h।
  • Combined Mean of Two Groups When two groups of sizes N1 and N2 have means X̄_1 and X̄_2, their combined mean is:
    X̄_12 = (N1 × X̄_1 + N2 × X̄_2) / (N1 + N2).     जब N1 और N2 आकार के दो समूहों के माध्य क्रमशः X̄_1 और X̄_2 हों, तो उनका संयुक्त माध्य:
    X̄_12 = (N1 × X̄_1 + N2 × X̄_2) / (N1 + N2)।

2. Measures of Dispersion & Consistency 2. अपकिरण के माप एवं स्थिरता (Consistency) का आकलन

Consistency Principle: The team, company, or player with the LOWER Coefficient of Variation (C.V.) or smaller Standard Deviation is considered more consistent, stable, and reliable. स्थिरता का सिद्धांत: जिस टीम, कंपनी या खिलाड़ी का विचरण गुणांक (C.V.) या मानक विचलन कम होता है, उसे अधिक सुसंगत, स्थिर और विश्वसनीय माना जाता है।
  • Range & Coefficient of Range Range = Highest Value (H) - Lowest Value (L). Relative measure is Coefficient of Range = (H - L) / (H + L). परास = उच्चतम मान (H) - न्यूनतम मान (L)। सापेक्ष माप (विस्तार गुणांक) = (H - L) / (H + L)।
  • Quartiles & Quartile Deviation Quartiles divide data into 4 equal quarters: Q1 (25th percentile), Q2 (Median, 50th percentile), Q3 (75th percentile).
    • Interquartile Range (IQR) = Q3 - Q1
    • Quartile Deviation (Semi-Interquartile Range, QD) = (Q3 - Q1) / 2
    • Coefficient of QD = (Q3 - Q1) / (Q3 + Q1)     चतुर्थक डेटा को 4 बराबर भागों में बांटते हैं: Q1 (25वाँ शतमक), Q2 (माध्यिका, 50वाँ शतमक), Q3 (75वाँ शतमक)।
    • अंतःचतुर्थक परास (IQR) = Q3 - Q1
    • चतुर्थक विचलन (अर्ध-अंतःचतुर्थक परास, QD) = (Q3 - Q1) / 2
    • चतुर्थक विचलन गुणांक = (Q3 - Q1) / (Q3 + Q1)
  • Variance & Standard Deviation Invariance Variance (σ^2) = ∑(x - X̄)^2 / n. Standard Deviation (σ) = √(Variance).
    Critical Exam Invariance Properties:
    • Origin Invariance: If a constant k is added or subtracted to all observations, SD remains completely unchanged (σ_new = σ_old).
    • Scale Multiplication: If all observations are multiplied by k, SD becomes |k| × σ_old, and Variance becomes k^2 × Variance_old.     प्रसरण (σ^2) = ∑(x - X̄)^2 / n। मानक विचलन (σ) = √(प्रसरण)।
    परीक्षा हेतु अनिवार्य नियम:
    • मूल बिंदु से स्वतंत्रता: यदि सभी प्रेक्षणों में कोई अचर k जोड़ा या घटाया जाए, तो मानक विचलन अपरिवर्तित रहता है।
    • पैमाने का गुणा: यदि सभी प्रेक्षणों को k से गुणा किया जाए, तो मानक विचलन |k| × σ तथा प्रसरण k^2 × Variance हो जाता है।
  • Coefficient of Variation (C.V.) C.V. = (σ / X̄) × 100. It is a unit-free percentage used to compare dispersion between two datasets having different units or different means. Lower C.V. &implies; Higher consistency. विचरण गुणांक (C.V.) = (σ / X̄) × 100। यह एक इकाई-रहित प्रतिशत माप है जिसका उपयोग दो भिन्न औसत वाले डेटासेट की स्थिरता की तुलना करने में होता है। कम C.V. &implies; अधिक स्थिरता।

3. Graphical Determinations & Skewness of Distributions 3. सांख्यिकीय मापों का ग्राफीय निर्धारण एवं वक्रों की विषमता (Skewness)

What Can and Cannot Be Determined Graphically:
• Median & Quartiles: Can be determined graphically from Ogives (Cumulative Frequency Curves).
• Mode: Can be determined graphically from a Histogram.
• Mean: CANNOT be determined graphically! (Classic UPSSSC trap question). किनका ग्राफीय निर्धारण संभव है और किनका नहीं:
• माध्यिका एवं चतुर्थक: तोरण (ओजाइव वक्रों) द्वारा ग्राफीय रूप से ज्ञात किए जा सकते हैं।
• बहुलक: आयतचित्र (Histogram) द्वारा ग्राफीय रूप से ज्ञात किया जा सकता है।
• माध्य (Mean): का ग्राफीय निर्धारण संभव नहीं है! (यूपीएसएसएससी का मानक ट्रैप प्रश्न)।
Distribution Type (वितरण का प्रकार)वितरण का प्रकार Mathematical Orderमाध्य, माध्यिका, बहुलक का क्रम Skewness Valueविषमता मान (Skewness) Visual Shapeआरेखीय आकृति
Symmetrical (सममित) Mean = Median = Mode Skewness = 0 Bell-shaped normal curve, perfectly balanced tails
Positively Skewed (धनात्मक विषम) Mean > Median > Mode Skewness > 0 Tail stretches to the right side (Right-skewed)
Negatively Skewed (ऋणात्मक विषम) Mode > Median > Mean Skewness < 0 Tail stretches to the left side (Left-skewed)
  • Frequency Density for Unequal Class Widths When class intervals in a grouped frequency table are unequal (e.g., 0-10, 10-20, 20-40, 40-70), heights of bars in a histogram must be drawn proportional to Frequency Density:
    Frequency Density = Class Frequency / Class Width.     जब समूहीकृत तालिका में वर्ग अंतराल असमान हों (उदा. 0-10, 10-20, 20-40, 40-70), तो आयतचित्र में दंडों की ऊंचाई आवृत्ति घनत्व (Frequency Density) के समानुपाती बनाई जाती है:
    आवृत्ति घनत्व = वर्ग बारंबारता / वर्ग चौड़ाई।

4. Cumulative Frequency Curves (Ogives) & Graphical Median 4. संचयी आवृत्ति वक्र (तोरण / ओजाइव) एवं ग्राफीय माध्यिका

An Ogive is a smooth cumulative frequency polygon. There are two types: 'Less than' Ogive (rises from bottom-left to top-right) and 'More than' Ogive (falls from top-left to bottom-right). Their point of intersection has the X-coordinate equal to the Median and Y-coordinate equal to N / 2. तोरण (ओजाइव) एक सुगम संचयी आवृत्ति वक्र होता है। यह दो प्रकार का होता है: 'से कम' तोरण (नीचे से ऊपर की ओर बढ़ता हुआ) और 'से अधिक' तोरण (ऊपर से नीचे गिरता हुआ)। दोनों वक्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु X-अक्ष पर माध्यिका और Y-अक्ष पर N / 2 मान प्रदर्शित करता है।

Figure 2.1: Determination of Median via Dual Ogive Curves (N = 100 Students) चित्र 2.1: द्वि-तोरण वक्रों द्वारा माध्यिका का निर्धारण (N = 100 विद्यार्थी)

0 20 40 Median = 50 60 80 100 Marks Scored (प्राप्तांक →) 0 25 N/2 = 50 75 N = 100 'Less than' Ogive 'More than' Ogive Intersection (50, 50)
The intersection point of both ogives drops down to the X-axis at exactly 50, which is the Median mark. दोनों तोरण वक्रों का प्रतिच्छेद बिंदु X-अक्ष पर ठीक 50 पर मिलता है, जो कि माध्यिका अंक है।

5. Rules of Diagrammatic Inference & Trap Avoidance 5. आरेखीय निष्कर्ष के नियम एवं भ्रामक त्रुटियों से बचाव

Critical Exam Principle: In questions asking "Which of the following conclusions can be definitively drawn from the graph?", stick strictly to the stated data. Never extrapolate trends beyond the boundary years or assume causation where only correlation is visible. अति-महत्वपूर्ण परीक्षा सिद्धांत: जब प्रश्न पूछे कि "आरेख से कौन सा निष्कर्ष निश्चित रूप से निकाला जा सकता है?", तो केवल दिए गए डेटा तक सीमित रहें। दिए गए वर्षों से आगे का अनुमान न लगाएं और न ही केवल सह-संबंध देखकर कार्य-कारण संबंध मान लें।
  • Fallacy of False Trend Extrapolation If production rose steadily from 2021 to 2024, you CANNOT conclude that production will rise in 2025 unless explicitly stated by a linear forecasting model. यदि 2021 से 2024 तक उत्पादन लगातार बढ़ा है, तो आप यह निष्कर्ष नहीं निकाल सकते कि 2025 में भी बढ़ेगा, जब तक कि स्पष्ट भविष्यवाणी मॉडल न दिया हो।
  • Rate of Increase vs Absolute Increase A declining slope on a line graph does NOT mean absolute values are decreasing. It only means the rate of growth is slowing down, as long as the value is still higher than the previous year. रेखा आरेख पर ढलान का कम होना वास्तविक मानों में गिरावट का संकेत नहीं देता। इसका केवल यह अर्थ है कि वृद्धि की दर धीमी हो गई है, जबकि कुल मान अभी भी पिछले वर्ष से अधिक हो सकता है।
  • Broken Axis Distortion Examiners frequently use a zigzag broken scale (kink) on the Y-axis (starting from 90 instead of 0). This exaggerates tiny differences visually. Always read the numerical coordinates on the axis, not just the bar heights visually! परीक्षक अक्सर Y-अक्ष पर शून्य के बजाय 90 से शुरू होने वाला खंडित पैमाना (kink) देते हैं। इससे छोटे अंतर भी बहुत बड़े दिखने लगते हैं। केवल बार की ऊंचाई देखकर अनुमान न लगाएं, हमेशा अक्ष के अंकों को पढ़ें!

6. Worked Statistical Exemplar: Grouped Distribution 6. विस्तृत हल सहित सांख्यिकीय उदाहरण: वर्गीकृत बारंबारता

Consider the test score distribution of 50 candidates in an examination: एक परीक्षा में 50 अभ्यर्थियों के प्राप्तांक वितरण पर विचार कीजिए:

Class Interval (Marks)वर्ग अंतराल (अंक) Frequency (f)बारंबारता (f) Midpoint (x)मध्य बिंदु (x) f × xf × x Cumulative Frequency (cf)संचयी बारंबारता (cf)
0 – 10 5 5 25 5
10 – 20 12 15 180 17
20 – 30 (Median Class) 18 25 450 35
30 – 40 10 35 350 45
40 – 50 5 45 225 50
Total N = 50 — ∑ fx = 1,230 —

Step-by-Step Statistical Calculations:चरणबद्ध सांख्यिकीय गणनाएं:

  1. Mean:माध्य: X̄ = ∑fx / N = 1,230 / 50 = 24.6 marks.
  2. Median:माध्यिका: N/2 = 50 / 2 = 25. Median class is 20–30 (since cf = 35 ≥ 25).
    L = 20, cf = 17, f = 18, h = 10.
    Median = 20 + [(25 - 17) / 18] × 10 = 20 + (8 / 18) × 10 = 20 + 4.44 = 24.44 marks.
  3. Mode:बहुलक: Modal class is 20–30 (highest frequency = 18).
    L = 20, f1 = 18, f0 = 12, f2 = 10, h = 10.
    Mode = 20 + [(18 - 12) / (2×18 - 12 - 10)] × 10 = 20 + [6 / (36 - 22)] × 10 = 20 + (6/14)×10 = 20 + 4.29 = 24.29 marks.
  4. Empirical Formula Check:अनुभवजन्य सूत्र सत्यापन: Mode ≈ 3 × Median - 2 × Mean = 3(24.44) - 2(24.6) = 73.32 - 49.20 = 24.12 marks (Matches modal calculation closely).

Statistical Analysis & Diagrammatic Inferences: 30 High-Yield Practice MCQs सांख्यिकीय विश्लेषण एवं आरेखीय निष्कर्ष: 30 महत्वपूर्ण अभ्यास प्रश्न

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Question 1 Empirical Formula
In a moderately asymmetrical distribution, the mean is 30 and the median is 28. What is the value of the mode?
एक मध्यम असममित आवृत्ति बंटन में, माध्य 30 है और माध्यिका 28 है। बहुलक का मान क्या होगा?
Correct Answer: Aसही उत्तर: A

Explanation: Mode = 3 × Median - 2 × Mean = 3(28) - 2(30) = 84 - 60 = 24.

व्याख्या: बहुलक = 3 × माध्यिका - 2 × माध्य = 3(28) - 2(30) = 84 - 60 = 24।

Question 2 Median Calculation
Find the median of the following set of observations: 14, 22, 9, 35, 18, 27, 41.
निम्नलिखित प्रेक्षणों की माध्यिका ज्ञात कीजिए: 14, 22, 9, 35, 18, 27, 41।
Correct Answer: Bसही उत्तर: B

Explanation: Arrange in ascending order: 9, 14, 18, 22, 27, 35, 41. Number of terms n = 7 (odd). Median = (7 + 1)/2 = 4th term = 22.

व्याख्या: आरोही क्रम: 9, 14, 18, 22, 27, 35, 41। पदों की संख्या n = 7 (विषम)। माध्यिका = (7 + 1)/2 = चौथा पद = 22।

Question 3 Median Even Terms
Find the median of the observations: 12, 18, 7, 25, 30, 15, 21, 9.
प्रेक्षणों की माध्यिका ज्ञात कीजिए: 12, 18, 7, 25, 30, 15, 21, 9।
Correct Answer: Bसही उत्तर: B

Explanation: Arrange in ascending order: 7, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 30. n = 8 (even). Median = Average of 4th (15) and 5th (18) terms = (15 + 18)/2 = 16.5.

व्याख्या: आरोही क्रम: 7, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 30। n = 8 (सम)। माध्यिका = (15 + 18)/2 = 33/2 = 16.5।

Question 4 Mode Identification
What is the mode of the data: 4, 7, 9, 7, 12, 7, 15, 9, 7, 18, 12?
दिए गए आंकड़ों का बहुलक क्या है: 4, 7, 9, 7, 12, 7, 15, 9, 7, 18, 12?
Correct Answer: Bसही उत्तर: B

Explanation: The number 7 appears with the highest frequency (4 times). Therefore, the mode is 7.

व्याख्या: संख्या 7 सर्वाधिक बार (4 बार) आई है। अतः बहुलक 7 है।

Question 5 Range & Coefficient
The daily wages of 6 workers are ₹450, ₹600, ₹380, ₹720, ₹500, ₹850. What is the Range of the wages?
6 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी ₹450, ₹600, ₹380, ₹720, ₹500, ₹850 है। मजदूरी का विस्तार (Range) क्या है?
Correct Answer: Aसही उत्तर: A

Explanation: Highest wage (H) = ₹850; Lowest wage (L) = ₹380. Range = H - L = 850 - 380 = ₹470.

व्याख्या: उच्चतम मान (H) = ₹850; न्यूनतम मान (L) = ₹380। विस्तार = 850 - 380 = ₹470।

Question 6 Standard Deviation
If the variance of a dataset is 144, what is the standard deviation?
यदि किसी डेटासेट का प्रसरण (variance) 144 है, तो उसका मानक विचलन क्या होगा?
Correct Answer: Aसही उत्तर: A

Explanation: Standard Deviation (σ) = √(Variance) = √(144) = 12. Standard deviation is always defined as the positive square root of variance.

व्याख्या: मानक विचलन (σ) = √(प्रसरण) = √(144) = 12। मानक विचलन सदैव धनात्मक वर्गमूल होता है।

Question 7 Coefficient of Variation
Team X has mean score 80 with SD 8. Team Y has mean score 60 with SD 9. Which team is more consistent?
टीम X का औसत स्कोर 80 और मानक विचलन 8 है। टीम Y का औसत स्कोर 60 और मानक विचलन 9 है। कौन सी टीम अधिक सुसंगत (consistent) है?
Correct Answer: Aसही उत्तर: A

Explanation: CV_X = (8/80) × 100 = 10%. CV_Y = (9/60) × 100 = 15%. Lower CV indicates higher consistency. Team X is more consistent.

व्याख्या: CV_X = (8/80) × 100 = 10%। CV_Y = (9/60) × 100 = 15%। कम CV अधिक स्थिरता को दर्शाता है। अतः टीम X अधिक सुसंगत है।

Question 8 Ogive Intersection
The 'Less than' ogive and 'More than' ogive of a frequency distribution intersect at point (35, 40). What is the median of the distribution?
एक बारंबारता बंटन का 'से कम' तोरण और 'से अधिक' तोरण बिंदु (35, 40) पर प्रतिच्छेद करते हैं। बंटन की माध्यिका क्या है?
Correct Answer: Bसही उत्तर: B

Explanation: The X-coordinate of the intersection of both ogives always represents the Median. Hence Median = 35. (The Y-coordinate represents N/2 = 40 → Total N = 80).

व्याख्या: दोनों तोरण वक्रों के प्रतिच्छेद बिंदु का X-निर्देशांक सदैव माध्यिका को दर्शाता है। अतः माध्यिका = 35 है (तथा Y-निर्देशांक N/2 = 40 दर्शाता है)।

Question 9 Histogram Principle
In a histogram representing continuous grouped data, what does the area of each rectangle represent?
सतत वर्गीकृत आँकड़ों को दर्शाने वाले आयतचित्र (histogram) में प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल क्या प्रदर्शित करता है?
Correct Answer: Aसही उत्तर: A

Explanation: In a histogram, the area of each bar is proportional to the frequency of that class interval.

व्याख्या: आयतचित्र में प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल उस वर्ग अंतराल की बारंबारता के समानुपाती होता है।

Question 10 Mean Transformation
The mean of 10 observations is 25. If each observation is multiplied by 3 and then 5 is added, what will be the new mean?
10 प्रेक्षणों का माध्य 25 है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 3 से गुणा किया जाए और फिर उसमें 5 जोड़ दिया जाए, तो नया माध्य क्या होगा?
Correct Answer: Bसही उत्तर: B

Explanation: If every observation y = 3x + 5, then New Mean = 3(Old Mean) + 5 = 3(25) + 5 = 75 + 5 = 80.

व्याख्या: यदि प्रत्येक प्रेक्षण में y = 3x + 5 किया जाए, तो नया माध्य = 3 × 25 + 5 = 80 होगा।

Question 11 SD Transformation
The standard deviation of a dataset is 6. If 4 is added to each observation, what is the new standard deviation?
एक डेटासेट का मानक विचलन 6 है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण में 4 जोड़ दिया जाए, तो नया मानक विचलन क्या होगा?
Correct Answer: Bसही उत्तर: B

Explanation: Standard deviation is independent of change of origin. Adding or subtracting a constant to all data points leaves the standard deviation unchanged (still 6).

व्याख्या: मानक विचलन मूल बिंदु के परिवर्तन (जोड़ने या घटाने) से अप्रभावित रहता है। अतः नया मानक विचलन भी 6 ही रहेगा।

Question 12 Missing Frequency
The mean of the numbers 6, 8, 11, x, and 15 is 10. What is the value of x?
संख्याओं 6, 8, 11, x और 15 का माध्य 10 है। x का मान क्या है?
Correct Answer: Aसही उत्तर: A

Explanation: Sum = 5 × 10 = 50. 6 + 8 + 11 + x + 15 = 40 + x = 50 → x = 50 - 40 = 10.

व्याख्या: कुल योग = 5 × 10 = 50। 40 + x = 50 → x = 10।

Question 13 Inference Logic
A line graph shows that Company A's car sales were 10,000 in 2021, 15,000 in 2022, and 20,000 in 2023. Which conclusion is definitively true?
एक रेखा आरेख दर्शाता है कि कंपनी A की कार बिक्री 2021 में 10,000, 2022 में 15,000 और 2023 में 20,000 थी। कौन सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सत्य है?
Correct Answer: Bसही उत्तर: B

Explanation: Only option B is a direct, verified mathematical fact from the data (15k - 10k = 5k; 20k - 15k = 5k). Market share, future 2024 sales, and profits are unstated assumptions.

व्याख्या: केवल विकल्प B दिए गए आंकड़ों से प्रमाणित सत्य है (15k - 10k = 5k तथा 20k - 15k = 5k)। अन्य सभी अनुमान हैं।

Question 14 Symmetric Distribution
For a perfectly symmetric normal distribution curve, which relation holds true?
पूर्णतः सममित (symmetrical) सामान्य बंटन वक्र के लिए कौन सा संबंध सत्य है?
Correct Answer: Cसही उत्तर: C

Explanation: In a perfectly symmetrical distribution, the Mean, Median, and Mode coincide at the exact center (Mean = Median = Mode).

व्याख्या: पूर्णतः सममित वितरण में माध्य, माध्यिका और बहुलक तीनों का मान ठीक केंद्र में संपाती (समान) होता है।

Question 15 Grouped Median Class
For a grouped dataset with N = 60, in which cumulative frequency (cf) range does the median class fall?
N = 60 वाले वर्गीकृत डेटासेट के लिए माध्यिका वर्ग किस संचयी बारंबारता (cf) मान पर स्थित होता है?
Correct Answer: Aसही उत्तर: A

Explanation: The median class is the first class interval whose cumulative frequency is greater than or equal to N/2 = 60/2 = 30.

व्याख्या: माध्यिका वर्ग वह पहला वर्ग अंतराल होता है जिसकी संचयी बारंबारता N/2 = 60/2 = 30 के बराबर या उससे अधिक होती है।

Question 16 Empirical Relationship
If Mode = 18 and Mean = 24, find the Median using the empirical formula.
यदि बहुलक = 18 तथा माध्य = 24 है, तो अनुभवजन्य सूत्र का उपयोग करके माध्यिका ज्ञात कीजिए।
Correct Answer: Cसही उत्तर: C

Explanation: Mode = 3(Median) - 2(Mean) → 18 = 3(Median) - 2(24) → 18 = 3(Median) - 48 → 3(Median) = 66 → Median = 22.

व्याख्या: 18 = 3(माध्यिका) - 48 → 3(माध्यिका) = 66 → माध्यिका = 22।

Question 17 Frequency Polygon
A frequency polygon is constructed by plotting frequency against which parameter on the X-axis?
आवृत्ति बहुभुज (frequency polygon) का निर्माण X-अक्ष पर किस मान के विरुद्ध आवृत्ति को आलेखित करके किया जाता है?
Correct Answer: Cसही उत्तर: C

Explanation: A frequency polygon plots frequencies against the midpoints (class marks) of each class interval, joined by straight lines.

व्याख्या: आवृत्ति बहुभुज में आवृत्तियों को वर्ग अंतरालों के मध्य बिंदुओं (वर्ग चिह्न) के विरुद्ध आलेखित किया जाता है।

Question 18 Mean Deviation
What is the mean deviation about the mean for the observations: 3, 5, 7, 9, 11?
प्रेक्षणों 3, 5, 7, 9, 11 के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन क्या है?
Correct Answer: Bसही उत्तर: B

Explanation: Mean = (3+5+7+9+11)/5 = 35/5 = 7. Deviations |x - Mean|: |3-7|=4, |5-7|=2, |7-7|=0, |9-7|=2, |11-7|=4. Sum = 4+2+0+2+4 = 12. Mean Deviation = 12 / 5 = 2.4.

व्याख्या: माध्य = 7। विचलन |x - 7| = 4, 2, 0, 2, 4। योग = 12। माध्य विचलन = 12 / 5 = 2.4।

Question 19 Variance Calculation
Find the variance of the numbers: 2, 4, 6, 8, 10.
संख्याओं 2, 4, 6, 8, 10 का प्रसरण (variance) ज्ञात कीजिए।
Correct Answer: Aसही उत्तर: A

Explanation: Mean = 6. Squared deviations (x - 6)^2: (2-6)^2=16, (4-6)^2=4, (6-6)^2=0, (8-6)^2=4, (10-6)^2=16. Sum = 40. Variance = 40 / 5 = 8.

व्याख्या: माध्य = 6। विचलनों का वर्ग = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40। प्रसरण = 40 / 5 = 8।

Question 20 Cumulative Frequency Type
The 'Less than' cumulative frequency of the last class interval in a distribution always equals:
किसी बंटन में अंतिम वर्ग अंतराल की 'से कम' संचयी बारंबारता सदैव किसके बराबर होती है?
Correct Answer: Bसही उत्तर: B

Explanation: The cumulative frequency of the final class interval aggregates all frequencies and therefore always equals the total number of observations (N).

व्याख्या: अंतिम वर्ग अंतराल की संचयी आवृत्ति सभी आवृत्तियों का कुल योग होती है, अतः यह सदैव N के बराबर होती है।

Question 21 Diagrammatic Inference
A bar chart compares rainfall across 5 districts. District P has 120 cm and District Q has 60 cm. Which statement is correct?
एक दंड आरेख 5 जिलों में वर्षा की तुलना करता है। जिला P में 120 सेमी और जिला Q में 60 सेमी वर्षा हुई। कौन सा कथन सही है?
Correct Answer: Aसही उत्तर: A

Explanation: Difference = 120 - 60 = 60 cm. Percentage more than Q = (60 / 60) × 100 = 100%.

व्याख्या: अंतर = 120 - 60 = 60 सेमी। Q से प्रतिशत अधिक = (60 / 60) × 100 = 100%।

Question 22 Median Property
Which measure of central tendency is least affected by extreme outlier values?
केंद्रीय प्रवृत्ति का कौन सा माप चरम मानों (outliers) से सबसे कम प्रभावित होता है?
Correct Answer: Bसही उत्तर: B

Explanation: Median is a positional average and depends only on the rank order of items, making it immune to extreme outlier values (unlike Mean and Range).

व्याख्या: माध्यिका एक स्थितिक औसत है और केवल क्रम पर निर्भर करती है, अतः यह चरम मानों (outliers) से प्रभावित नहीं होती।

Question 23 Weighted Mean Calculation
A student scores 70 in Hindi (weight 1), 80 in English (weight 2), and 90 in Math (weight 3). What is his weighted average score?
एक छात्र हिंदी में 70 (भार 1), अंग्रेजी में 80 (भार 2) और गणित में 90 (भार 3) अंक प्राप्त करता है। उसका भारित औसत अंक क्या है?
Correct Answer: Bसही उत्तर: B

Explanation: Weighted sum = 1(70) + 2(80) + 3(90) = 70 + 160 + 270 = 500. Sum of weights = 1 + 2 + 3 = 6. Weighted Mean = 500 / 6 = 83.33.

व्याख्या: भारित योग = 70 + 160 + 270 = 500। भारों का योग = 6। भारित औसत = 500 / 6 = 83.33।

Question 24 Qualitative Data
Which average is best suited for qualitative categorical data such as shoe size, t-shirt size, or consumer brand preference?
जूते का आकार, टी-शर्ट का आकार या उपभोक्ता ब्रांड वरीयता जैसे गुणात्मक डेटा के लिए कौन सा औसत सर्वोत्तम है?
Correct Answer: Cसही उत्तर: C

Explanation: Mode identifies the most common/popular category and is the only central tendency measure applicable to nominal/categorical data.

व्याख्या: बहुलक सबसे लोकप्रिय या सामान्य श्रेणी को दर्शाता है, जो गुणात्मक डेटा के लिए सर्वोत्तम है।

Question 25 Open-Ended Classes
In a frequency table with open-ended class intervals (e.g., 'Below 20' or 'Above 80'), which central measure can still be accurately determined?
खुले सिरे वाले वर्ग अंतरालों (जैसे '20 से कम' या '80 से अधिक') वाली तालिका में किस केंद्रीय माप को सटीक रूप से ज्ञात किया जा सकता है?
Correct Answer: Bसही उत्तर: B

Explanation: The median depends only on the middle position and does not require knowledge of extreme boundary limits, making it calculable for open-ended tables.

व्याख्या: माध्यिका मध्य पद की स्थिति पर निर्भर करती है और इसमें सिरों के सटीक मान की आवश्यकता नहीं होती, अतः यह ज्ञात की जा सकती है।

Question 26 Inference Question
If the correlation coefficient between expenditure on advertising and sales is +0.92, what can be inferred?
यदि विज्ञापन पर व्यय और बिक्री के बीच सह-संबंध गुणांक +0.92 है, तो क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?
Correct Answer: Aसही उत्तर: A

Explanation: A correlation coefficient close to +1 indicates a strong positive linear relationship between the two variables.

व्याख्या: +0.92 का सह-संबंध गुणांक दोनों चरों के बीच मजबूत धनात्मक रैखिक संबंध को प्रमाणित करता है।

Question 27 Median Graphical
Which graphical representation can be used directly to partition data into quartiles and percentiles?
डेटा को चतुर्थक (quartiles) और शतमक (percentiles) में विभाजित करने के लिए किस आरेख का सीधा उपयोग किया जा सकता है?
Correct Answer: Cसही उत्तर: C

Explanation: An Ogive allows graphical location of any positional measure: Q1 at N/4, Median at N/2, Q3 at 3N/4, and percentiles at Pk = (k/100)N.

व्याख्या: तोरण (ओजाइव) से Q1 (N/4), माध्यिका (N/2), Q3 (3N/4) तथा किसी भी शतमक की स्थिति सीधे ज्ञात की जा सकती है।

Question 28 Class Mark
What is the class mark and class width of the interval 35 – 45?
वर्ग अंतराल 35 – 45 का वर्ग चिह्न और वर्ग विस्तार क्या है?
Correct Answer: Aसही उत्तर: A

Explanation: Class mark (midpoint) = (35 + 45)/2 = 80/2 = 40. Class width = Upper - Lower = 45 - 35 = 10.

व्याख्या: वर्ग चिह्न = (35 + 45)/2 = 40। वर्ग विस्तार = 45 - 35 = 10।

Question 29 Relative Frequency
In a sample of 250 items, 45 items belong to Category A. What is the relative frequency of Category A?
250 मदों के नमूने में, 45 मदें श्रेणी A की हैं। श्रेणी A की सापेक्ष बारंबारता (relative frequency) क्या है?
Correct Answer: Aसही उत्तर: A

Explanation: Relative frequency = Category frequency / Total sample size = 45 / 250 = 9 / 50 = 0.18 (or 18%).

व्याख्या: सापेक्ष बारंबारता = श्रेणी बारंबारता / कुल आकार = 45 / 250 = 0.18 (या 18%)।

Question 30 Sum of Deviations
The algebraic sum of deviations of a set of observations taken from their arithmetic mean is always:
किसी प्रेक्षण समुच्चय के समांतर माध्य से लिए गए विचलनों का बीजगणितीय योग सदैव होता है:
Correct Answer: Bसही उत्तर: B

Explanation: Fundamental mathematical property: ∑(x_i - X̄) = 0. The sum of positive deviations exactly cancels the sum of negative deviations.

व्याख्या: मूलभूत सांख्यिकीय गुण: समांतर माध्य से लिए गए विचलनों का बीजगणितीय योग ∑(x_i - X̄) सदैव शून्य (0) होता है।

Micro Test: Statistical Analysis & Inferences माइक्रो टेस्ट: सांख्यिकीय विश्लेषण व निष्कर्ष

15 Questions | 15 Minutes | 1 Mark per Question | Negative Marking: 0.25 15 प्रश्न | 15 मिनट | प्रति प्रश्न 1 अंक | नकारात्मक अंकन: 0.25

15:00
1 / 15 1 Mark
If Mean = 32 and Median = 30, what is the Mode in an empirical distribution?
यदि माध्य = 32 और माध्यिका = 30 है, तो अनुभवजन्य सूत्रानुसार बहुलक क्या होगा?
2 / 15 1 Mark
Find the median of: 8, 15, 3, 21, 12, 18, 9.
संख्याओं 8, 15, 3, 21, 12, 18, 9 की माध्यिका क्या है?
3 / 15 1 Mark
If variance of a data series is 81, what is the standard deviation?
यदि एक डेटा श्रेणी का प्रसरण 81 है, तो मानक विचलन क्या है?
4 / 15 1 Mark
The intersection point of 'Less than' and 'More than' ogives gives which value on the X-axis?
'से कम' और 'से अधिक' तोरण वक्रों का प्रतिच्छेद बिंदु X-अक्ष पर कौन सा मान देता है?
5 / 15 1 Mark
If each value in a dataset is doubled, what happens to the standard deviation?
यदि किसी डेटासेट के प्रत्येक मान को दोगुना कर दिया जाए, तो मानक विचलन पर क्या प्रभाव पड़ेगा?
6 / 15 1 Mark
What is the mode of: 11, 14, 11, 19, 14, 23, 14, 18, 14?
संख्याओं 11, 14, 11, 19, 14, 23, 14, 18, 14 का बहुलक क्या है?
7 / 15 1 Mark
Find the range of the scores: 42, 68, 29, 95, 51, 84.
प्राप्तांकों 42, 68, 29, 95, 51, 84 का विस्तार (range) ज्ञात कीजिए।
8 / 15 1 Mark
Which measure is most suitable for describing the average wage when extreme executive salaries distort the data?
जब कुछ अधिकारियों का अत्यधिक उच्च वेतन औसत को बिगाड़ रहा हो, तो औसत मजदूरी दर्शाने के लिए कौन सा माप सबसे उपयुक्त है?
9 / 15 1 Mark
For a symmetrical distribution with Mean = 50, what are the Median and Mode?
माध्य = 50 वाले एक सममित बंटन के लिए माध्यिका और बहुलक क्या होंगे?
10 / 15 1 Mark
Mean of 5 numbers is 18. If one number is excluded, the mean becomes 16. What was the excluded number?
5 संख्याओं का माध्य 18 है। यदि एक संख्या हटा दी जाए, तो माध्य 16 हो जाता है। हटाई गई संख्या क्या थी?
11 / 15 1 Mark
What is the Coefficient of Variation if Mean = 50 and SD = 5?
यदि माध्य = 50 और मानक विचलन = 5 है, तो विचरण गुणांक (CV) क्या होगा?
12 / 15 1 Mark
In a histogram, the widths of the rectangles are proportional to:
आयतचित्र में आयतों की चौड़ाई किसके समानुपाती होती है?
13 / 15 1 Mark
What is the algebraic sum of deviations of 12, 16, 20 from their mean 16?
संख्याओं 12, 16, 20 का उनके माध्य 16 से विचलनों का बीजगणितीय योग क्या है?
14 / 15 1 Mark
Find the median of the first 8 prime numbers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
प्रथम 8 अभाज्य संख्याओं (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19) की माध्यिका क्या है?
15 / 15 1 Mark
In a graph, if the curve is strictly increasing, what can be deduced about the rate of growth?
यदि एक ग्राफ में वक्र निरंतर ऊपर की ओर बढ़ रहा है, तो संवृद्धि दर के बारे में क्या कहा जा सकता है?