Derivation from Van der Waals Equation वाण्डर वाल्स समीकरण से व्युत्पत्ति
- The Van der Waals equation is given by (P + a/V2)(V - b) = RT for one mole of gas.
- At the critical point, the isotherm shows an inflection point where the first and second derivatives of pressure with respect to volume equal zero: (∂P/∂V)T = 0 and (∂2P/∂V2)T = 0.
- Solving these simultaneous partial differential equations yields the expressions for Tc, Pc, and Vc in terms of van der Waals constants a and b.
- एक मोल गैस के लिए वाण्डर वाल्स समीकरण (P + a/V2)(V - b) = RT है।
- क्रांतिक बिंदु पर, समतापी वक्र (isotherm) एक नति परिवर्तन बिंदु (inflection point) प्रदर्शित करता है जहाँ आयतन के सापेक्ष दाब के प्रथम और द्वितीय अवकलज शून्य होते हैं: (∂P/∂V)T = 0 और (∂2P/∂V2)T = 0।
- इन युगपत आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने पर वाण्डर वाल्स स्थिरांक a और b के पदों में Tc, Pc, और Vc के व्यंजक प्राप्त होते हैं।
Reduced Equation of State समानित अवस्था समीकरण (Reduced Equation of State)
- Reduced variables are defined as dimensionless ratios of the actual property to its critical value: Tr = T/Tc, Pr = P/Pc, and Vr = V/Vc.
- Substituting these variables into the Van der Waals equation yields the law of corresponding states: (Pr + 3/Vr2)(3Vr - 1) = 8Tr.
- Gases at the same reduced temperature and reduced pressure occupy the same reduced volume and exhibit the same deviation from ideal behavior.
- समानित चर (Reduced variables) को वास्तविक गुण और उसके क्रांतिक मान के विमाहीन अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: Tr = T/Tc, Pr = P/Pc, और Vr = V/Vc।
- इन चरों को वाण्डर वाल्स समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर संगत अवस्थाओं का नियम (law of corresponding states) प्राप्त होता है: (Pr + 3/Vr2)(3Vr - 1) = 8Tr।
- समान समानित ताप और समानित दाब पर गैसें समान समानित आयतन घेरती हैं और आदर्श व्यवहार से समान विचलन प्रदर्शित करती हैं।
Significance of Van der Waals Constants वाण्डर वाल्स स्थिरांकों का महत्व
- Constant a accounts for the magnitude of intermolecular attractive forces and has units of atm L2 mol-2.
- Constant b represents the excluded volume or effective incompressible volume of the gas molecules per mole, with units of L mol-1.
- The ratio of critical temperature to critical pressure is directly proportional to b/a, establishing a link between molecular size, attraction, and liquefaction difficulty.
- स्थिरांक a अंतर-आणविक आकर्षण बलों के परिमाण को दर्शाता है और इसकी इकाई atm L2 mol-2 होती है।
- स्थिरांक b गैस के अणुओं द्वारा घेरे गए अपवर्जित आयतन (excluded volume) या प्रति मोल प्रभावी असंपीड्य आयतन को दर्शाता है, जिसकी इकाई L mol-1 होती है।
- क्रांतिक ताप और क्रांतिक दाब का अनुपात सीधे b/a के समानुपाती होता है, जो आणविक आकार, आकर्षण और द्रवीकरण की कठिनाई के बीच संबंध स्थापित करता है।
Observation: Experimental Zc values for real gases typically range between 0.20 and 0.30. — The simple Van der Waals model fails to accurately predict molecular behavior and repulsive-attractive interactions precisely at high densities near the critical point. प्रेक्षण: वास्तविक गैसों के लिए प्रायोगिक Zc मान आमतौर पर 0.20 और 0.30 के बीच होते हैं। सरल वाण्डर वाल्स मॉडल क्रांतिक बिंदु के निकट उच्च घनत्व पर आणविक व्यवहार और प्रतिकर्षण-आकर्षण अंतःक्रियाओं की सटीक भविष्यवाणी करने में विफल रहता है।
Observation: For certain polar gases and complex polyatomic molecules, TB can be significantly higher than Tc. — Strong directional intermolecular forces and dipole-dipole interactions alter the balance between attractive and repulsive forces. प्रेक्षण: कुछ ध्रुवीय गैसों और जटिल बहुपरमाणुक अणुओं के लिए, TB का मान Tc से काफी अधिक हो सकता है। मजबूत दिशात्मक अंतर-आणविक बल और द्विध्रुव-द्विध्रुव अंतःक्रियाएँ आकर्षण और प्रतिकर्षण बलों के संतुलन को बदल देती हैं।
Application: Quickly calculate the Boyle temperature when only the critical temperature is provided in numerical problems. अनुप्रयोग: संख्यात्मक प्रश्नों में केवल क्रांतिक ताप दिए जाने पर बॉयल ताप की त्वरित गणना करें।
Application: Directly estimate the maximum inversion temperature for the Joule-Thomson effect using the critical temperature. अनुप्रयोग: जूल-थॉमसन प्रभाव के लिए अधिकतम व्युत्क्रमण ताप का अनुमान लगाने हेतु क्रांतिक ताप का उपयोग करें।
Application: Determine the attractive constant 'a' without needing the excluded volume 'b'. अनुप्रयोग: अपवर्जित आयतन 'b' की आवश्यकता के बिना आकर्षण स्थिरांक 'a' निर्धारित करें।
| Temperature Typeताप का प्रकार | Symbolप्रतीक | Defining Conditionपरिभाषिक स्थिति |
|---|---|---|
| Critical Temperatureक्रांतिक ताप | TcTc | Highest temperature at which liquid phase can exist; above this, liquefaction is impossible.वह उच्चतम ताप जिस पर द्रव अवस्था अस्तित्व में रह सकती है; इसके ऊपर द्रवीकरण असंभव है। |
| Boyle Temperatureबॉयल ताप | TBTB | Temperature at which a real gas behaves like an ideal gas over a wide range of pressures.वह ताप जिस पर वास्तविक गैस दाब की एक विस्तृत श्रृंखला पर आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती है। |
| Inversion Temperatureव्युत्क्रमण ताप | TiTi | Temperature below which a gas cools upon expansion and above which it warms during Joule-Thomson expansion.वह ताप जिसके नीचे गैस प्रसार पर ठंडी होती है और जिसके ऊपर जूल-थॉमसन प्रसार के दौरान गर्म होती है। |
- The critical temperature (Tc) of a gas is given by 8a / (27Rb).
- The critical pressure (Pc) of a gas is given by a / (27b2).
- The critical volume (Vc) of a gas is equal to 3b.
- The compressibility factor at the critical point (Zc) is 3/8 (0.375) according to Van der Waals equation.
- The unit of van der Waals constant 'a' is atm L2 mol-2 or N m4 mol-2.
- The unit of van der Waals constant 'b' is L mol-1 or m3 mol-1.
- गैस का क्रांतिक ताप (Tc) 8a / (27Rb) द्वारा दिया जाता है।
- गैस का क्रांतिक दाब (Pc) a / (27b2) द्वारा दिया जाता है।
- गैस का क्रांतिक आयतन (Vc) 3b के बराबर होता है।
- वाण्डर वाल्स समीकरण के अनुसार क्रांतिक बिंदु पर संपीड्यता गुणांक (Zc) 3/8 (0.375) होता है।
- वाण्डर वाल्स स्थिरांक 'a' की इकाई atm L2 mol-2 या N m4 mol-2 है।
- वाण्डर वाल्स स्थिरांक 'b' की इकाई L mol-1 या m3 mol-1 है।
- Confusing the units of 'a' and 'b'; remember 'a' has pressure-volume squared dimensions per mole squared, while 'b' is simply volume per mole.
- Assuming Zc is universally 0.375 experimentally; real gases show deviations due to non-ideal molecular interactions.
- Applying ideal gas laws near the critical region where P-V-T behavior deviates maximally from ideality.
- Forgetting that critical volume Vc is for one mole of gas (3b), not individual molecules.
- 'a' और 'b' की इकाइयों को भ्रमित करना; याद रखें 'a' में प्रति मोल दाब-आयतन वर्ग की विमाएँ होती हैं, जबकि 'b' प्रति मोल आयतन है।
- यह मान लेना कि प्रायोगिक रूप से Zc सार्वभौमिक रूप से 0.375 है; वास्तविक गैसें गैर-आदर्श आणविक अंतःक्रियाओं के कारण विचलन दिखाती हैं।
- क्रांतिक क्षेत्र के पास आदर्श गैस नियमों को लागू करना जहाँ P-V-T व्यवहार आदर्शता से अधिकतम विचलित होता है।
- यह भूल जाना कि क्रांतिक आयतन Vc एक मोल गैस (3b) के लिए है, न कि व्यक्तिगत अणुओं के लिए।