Physical Chemistry भौतिक रसायन (Physical Chemistry)

Relationship between Cp and Cv Cp और Cv के बीच संबंध (Relationship between Cp and Cv)

The heat capacity at constant pressure (&Cp) exceeds the heat capacity at constant volume (&Cv) by the work done by the system during expansion. For an ideal gas, this difference is equal to the universal gas constant R per mole. स्थिर दाब पर ऊष्मा धारिता (Heat capacity at constant pressure, Cp) का मान स्थिर आयतन पर ऊष्मा धारिता (Heat capacity at constant volume, Cv) से अधिक होता है, जिसका कारण प्रसार के दौरान निकाय (system) द्वारा किया गया कार्य है। एक आदर्श गैस (Ideal gas) के लिए, यह अंतर प्रति मोल सार्वत्रिक गैस नियतांक (Universal gas constant) R के बराबर होता है।

UP PGT Chemistry Subject Code 02 B.Sc. / M.Sc. Level

Derivation of Mayer's Relation for Ideal Gases आदर्श गैसों के लिए मेयर संबंध (Mayer's Relation) की व्युत्पत्ति

Enthalpy is defined as H = U + PV, where U is internal energy, P is pressure, and V is volume.
Differentiating enthalpy with respect to temperature at constant pressure yields (∂H/∂T)P = Cp.
For one mole of an ideal gas, substituting PV = RT into the enthalpy definition gives H = U + RT.
Differentiating with respect to T at constant pressure yields Cp = Cv + R, confirming Cp > Cv.

एन्थैल्पी (Enthalpy) को H = U + PV के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ U आंतरिक ऊर्जा (Internal energy), P दाब और V आयतन है।
स्थिर दाब पर तापमान के सापेक्ष एन्थैल्पी का अवकलन करने पर (∂H/∂T)P = Cp प्राप्त होता है।
एक मोल आदर्श गैस के लिए, एन्थैल्पी परिभाषा में PV = RT प्रतिस्थापित करने पर H = U + RT प्राप्त होता है।
स्थिर दाब पर T के सापेक्ष अवकलन करने पर Cp = Cv + R प्राप्त होता है, जो Cp > Cv की पुष्टि करता है।

Thermodynamic Equation of State for Real Systems वास्तविक निकायों के लिए ऊष्मागतिक अवस्था समीकरण (Thermodynamic Equation of State)

Internal energy of a real gas depends on both temperature and volume due to intermolecular forces of attraction.
The partial derivative (∂U/∂V)T represents internal pressure and is positive for real gases.
For liquids and solids, the volume change with temperature is extremely small, making Cp ≈ Cv.
Water exhibits a negative thermal expansion coefficient below 4°C, affecting its heat capacity relationships.

वास्तविक गैस की आंतरिक ऊर्जा अंतर-आणविक आकर्षण बलों (Intermolecular forces of attraction) के कारण तापमान और आयतन दोनों पर निर्भर करती है।
आंशिक अवकलज (∂U/∂V)T आंतरिक दाब को दर्शाता है और वास्तविक गैसों के लिए यह धनात्मक होता है।
द्रवों और ठोसों के लिए, तापमान के साथ आयतन परिवर्तन अत्यंत सूक्ष्म होता है, जिससे Cp ≈ Cv हो जाता है।
जल 4°C से नीचे ऋणात्मक तापीय प्रसार गुणांक (Thermal expansion coefficient) प्रदर्शित करता है, जो इसकी ऊष्मा धारिता संबंधों को प्रभावित करता है।

Atomicity and Heat Capacity Ratios (γ) परमाणुकता (Atomicity) और ऊष्मा धारिता अनुपात (γ)

For monoatomic ideal gases (e.g., He, Ne), Cv = (3/2)R and Cp = (5/2)R, resulting in γ = 1.67.
For diatomic ideal gases (e.g., O2, N2) at room temperature, Cv = (5/2)R and Cp = (7/2)R, giving γ = 1.40.
For non-linear polyatomic gases (e.g., H2O, CO2), Cv = 3R and Cp = 4R, yielding γ = 1.33.
Vibrational degrees of freedom contribute to heat capacities significantly at higher temperatures.

एकपरमाणुक आदर्श गैसों (जैसे He, Ne) के लिए, Cv = (3/2)R और Cp = (5/2)R, जिसके परिणामस्वरूप γ = 1.67 होता है।
कमरे के तापमान पर द्विपरमाणुक आदर्श गैसों (जैसे O2, N2) के लिए, Cv = (5/2)R और Cp = (7/2)R, जिससे γ = 1.40 प्राप्त होता है।
अरेखीय बहुपरमाणुक गैसों (जैसे H2O, CO2) के लिए, Cv = 3R और Cp = 4R, जिससे γ = 1.33 प्राप्त होता है।
उच्च तापमान पर कंपन की स्वतंत्रता की कोटियाँ (Vibrational degrees of freedom) ऊष्मा धारिता में महत्वपूर्ण योगदान देती हैं।

📐 Key Formulas & Equations 📐 महत्वपूर्ण सूत्र एवं समीकरण

General Heat Capacity Difference सामान्य ऊष्मा धारिता अंतर (General Heat Capacity Difference)

C_p - C_v = [P + (∂U/∂V)_T] (∂V/∂T)_P

Conditions: Any substance or real gas

शर्तें: कोई भी पदार्थ या वास्तविक गैस

इकाइयाँ: J K-1 mol-1

Ratio of Heat Capacities ऊष्मा धारिता अनुपात (Ratio of Heat Capacities)

γ = C_p / C_v

Conditions: Adiabatic processes and gas atomicity determination

शर्तें: रुद्धोष्म प्रक्रम (Adiabatic processes) और गैस परमाणुकता निर्धारण

इकाइयाँ: विमाहीन (Dimensionless)

Volume Expansion and Compressibility Relation आयतन प्रसार और संपीड्यता संबंध (Volume Expansion and Compressibility Relation)

C_p - C_v = TVα² / κ_T

Conditions: Real gases, liquids, and solids where α is thermal expansion coefficient and κT is isothermal compressibility

शर्तें: वास्तविक गैसें, द्रव और ठोस, जहाँ α तापीय प्रसार गुणांक और κT समतापीय संपीड्यता है

इकाइयाँ: J K-1 mol-1

Mayer's Relation मेयर संबंध (Mayer's Relation)

C_p - C_v = R

Conditions: One mole of an ideal gas

शर्तें: एक मोल आदर्श गैस

इकाइयाँ: J K-1 mol-1

⚠️ Important Exceptions & Anomalies ⚠️ महत्वपूर्ण अपवाद एवं विसंगतियाँ

Exceptionअपवाद Cp - Cv = R for all gasesसभी गैसों के लिए Cp - Cv = R

Observation: Real gases deviate significantly at high pressure and low temperature — Intermolecular forces and finite molecular volume invalidate the ideal gas equation PV = RT प्रेक्षण: वास्तविक गैसें उच्च दाब और निम्न तापमान पर महत्वपूर्ण विचलन दर्शाती हैं—अंतर-आणविक बल और सीमित आणविक आयतन आदर्श गैस समीकरण PV = RT को अमान्य कर देते हैं।

Exceptionअपवाद Cp is always greater than CvCp हमेशा Cv से अधिक होता है

Observation: Liquid water between 0°C and 4°C — The thermal expansion coefficient α is negative in this range, making Cp less than Cv प्रेक्षण: 0°C और 4°C के बीच द्रव जल—इस सीमा में तापीय प्रसार गुणांक α ऋणात्मक होता है, जिससे Cp का मान Cv से कम हो जाता है।

Exceptionअपवाद Solids have negligible difference between Cp and Cvठोसों में Cp और Cv के बीच नगण्य अंतर होता है

Observation: High-temperature crystalline solids — Thermal expansion increases at high temperatures, causing a measurable divergence between Cp and Cv प्रेक्षण: उच्च तापमान वाले क्रिस्टलीय ठोस—उच्च तापमान पर तापीय प्रसार बढ़ जाता है, जिससे Cp और Cv के बीच मापने योग्य अंतर उत्पन्न होता है।

💡 Shortcuts & Memory Aids 💡 शॉर्टकट एवं स्मरणीय सूत्र

Equipartition Theorem Shortcutसमविभाजन प्रमेय शॉर्टकट (Equipartition Theorem Shortcut)

C_v = (f/2)R

Application: Count the total degrees of freedom (f) for translational, rotational, and active vibrational modes to find Cv instantly. अनुप्रयोग: Cv को तुरंत ज्ञात करने के लिए स्थानांतरण, घूर्णन और सक्रिय कंपन मोड के लिए कुल स्वतंत्रता की कोटियों (f) की गणना करें।

Gamma Calculation Mnemonicगामा गणना सूत्र (Gamma Calculation Mnemonic)

γ = 1 + (2/f)

Application: Directly calculate the heat capacity ratio using only the total degrees of freedom (f) without computing individual Cp and Cv. अनुप्रयोग: Cp और Cv की अलग-अलग गणना किए बिना, केवल कुल स्वतंत्रता की कोटियों (f) का उपयोग करके ऊष्मा धारिता अनुपात ज्ञात करें।

Mayer's Relation Unit Checkमेयर संबंध इकाई जाँच (Mayer's Relation Unit Check)

C_p,m - C_v,m = R = 8.314 J K^-1 mol^-1

Application: Always confirm molar heat capacities are used when applying the simple R difference to avoid calorie-to-joule conversion errors. अनुप्रयोग: कैलोरी से जूल रूपांतरण त्रुटियों से बचने के लिए हमेशा मोलर ऊष्मा धारिता का उपयोग सुनिश्चित करें।

⚖️ Comparison of Heat Capacities at Constant Pressure and Constant Volume ⚖️ स्थिर दाब और स्थिर आयतन पर ऊष्मा धारिता की तुलना

Parameterपैरामीटर	Heat Capacity at Constant Volume (Cv)स्थिर आयतन पर ऊष्मा धारिता (Cv)	Heat Capacity at Constant Pressure (Cp)स्थिर दाब पर ऊष्मा धारिता (Cp)
Definitionपरिभाषा	Rate of change of internal energy with temperatureतापमान के साथ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन की दर	Rate of change of enthalpy with temperatureतापमान के साथ एन्थैल्पी में परिवर्तन की दर
Mathematical Expressionगणितीय व्यंजक	(∂U/∂T)V(∂U/∂T)V	(∂H/∂T)P(∂H/∂T)P
System Conditionनिकाय की स्थिति	Constant volume (no expansion work)स्थिर आयतन (कोई प्रसार कार्य नहीं)	Constant pressure (system expands against external pressure)स्थिर दाब (निकाय बाह्य दाब के विरुद्ध फैलता है)
Ideal Gas Valueआदर्श गैस मान	(f/2)R(f/2)R	[(f/2) + 1]R[(f/2) + 1]R

🎯 Key Exam Points 🎯 महत्वपूर्ण परीक्षा बिंदु (Key Exam Points)

The difference Cp - Cv represents the external work done by one mole of gas when heated through 1 Kelvin at constant pressure.
For any ideal gas, the molar heat capacity difference Cp,m - Cv,m equals the universal gas constant R.
For solids and liquids, (∂U/∂V)T is extremely large compared to P, meaning Cp is primarily greater due to volumetric expansion work.
Monoatomic gases possess 3 translational degrees of freedom, giving Cv = 1.5R and γ = 1.67.
Diatomic gases possess 3 translational and 2 rotational degrees of freedom at room temperature, giving Cv = 2.5R.
At extremely low temperatures, vibrational degrees of freedom are frozen out for most diatomic gases.

अंतर Cp - Cv उस बाह्य कार्य को दर्शाता है जो एक मोल गैस द्वारा स्थिर दाब पर 1 केल्विन गर्म करने पर किया जाता है।
किसी भी आदर्श गैस के लिए, मोलर ऊष्मा धारिता का अंतर Cp,m - Cv,m सार्वत्रिक गैस नियतांक R के बराबर होता है।
ठोसों और द्रवों के लिए, (∂U/∂V)T का मान P की तुलना में अत्यंत अधिक होता है, जिसका अर्थ है कि Cp मुख्य रूप से आयतनी प्रसार कार्य के कारण अधिक होता है।
एकपरमाणुक गैसों में 3 स्थानांतरण स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं, जिससे Cv = 1.5R और γ = 1.67 प्राप्त होता है।
द्विपरमाणुक गैसों में कमरे के तापमान पर 3 स्थानांतरण और 2 घूर्णन स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं, जिससे Cv = 2.5R होता है।
अत्यंत कम तापमान पर, अधिकांश द्विपरमाणुक गैसों के लिए कंपन स्वतंत्रता की कोटियाँ जम (freeze) जाती हैं।

🚫 Common Errors & Confusions 🚫 सामान्य भ्रांतियाँ एवं त्रुटियाँ (Common Errors)

Confusing specific heat capacity (per gram) with molar heat capacity (per mole) when applying Mayer's relation.
Assuming Cp - Cv = R holds true for liquids and solids under standard conditions.
Forgetting that γ decreases as atomicity and molecular complexity increase.
Applying ideal gas relationships directly to van der Waals gases without incorporating internal pressure correction terms.

मेयर संबंध लागू करते समय विशिष्ट ऊष्मा धारिता (प्रति ग्राम) और मोलर ऊष्मा धारिता (प्रति मोल) के बीच भ्रमित होना।
यह मान लेना कि मानक स्थितियों में द्रवों और ठोसों के लिए Cp - Cv = R सत्य है।
यह भूल जाना कि परमाणुकता और आणविक जटिलता बढ़ने पर γ का मान घटता है।
आंतरिक दाब सुधार पदों को शामिल किए बिना आदर्श गैस संबंधों को सीधे वैन डेर वाल्स गैसों पर लागू करना।

Syllabus Sectionपाठ्यक्रम अनुभाग

Physical Chemistryभौतिक रसायन

Branch topics covered under official UP PGT Chemistry curriculum.आधिकारिक UP PGT रसायन विज्ञान पाठ्यक्रम के अंतर्गत शामिल विषय।

Molecular Velocity Of Gases → Mean Free Path → Collision Diameter → Liquefaction Of Gases → Joule Thomson Effect → Ideal Gases →

Full Chemistry Tracker →

Relationship between Cp and Cv Cp और Cv के बीच संबंध (Relationship between Cp and Cv)

Derivation of Mayer's Relation for Ideal Gases आदर्श गैसों के लिए मेयर संबंध (Mayer's Relation) की व्युत्पत्ति

Thermodynamic Equation of State for Real Systems वास्तविक निकायों के लिए ऊष्मागतिक अवस्था समीकरण (Thermodynamic Equation of State)

Atomicity and Heat Capacity Ratios (γ) परमाणुकता (Atomicity) और ऊष्मा धारिता अनुपात (γ)

⚡ Quick Revision: Relationship between Cp and Cv ⚡ त्वरित रिवीज़न: Cp और Cv के बीच संबंध (Relationship between Cp and Cv)

First Law Foundation ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम आधार

Enthalpy and Expansion Work एन्थैल्पी और प्रसार कार्य

Degrees of Freedom स्वतंत्रता की कोटियाँ

Real Gas Corrections वास्तविक गैस सुधार

📚 Terms & Units Glossary 📚 पारिभाषिक शब्दावली एवं इकाइयाँ

🎯 Key Takeaways 🎯 महत्वपूर्ण निष्कर्ष (Key Takeaways)

📌 Quick Recall 📌 त्वरित स्मरण (Quick Recall)

⚖️ Key Differences ⚖️ महत्वपूर्ण अंतर (Key Differences)

❓ Practice Questions (19 MCQs)❓ अभ्यास प्रश्न (19 बहुविकल्पीय प्रश्न)

What is the value of C_p - C_v for 2 moles of an ideal gas? 2 मोल आदर्श गैस के लिए C_p - C_v का मान क्या है?

Which of the following relations is correct for a real gas? वास्तविक गैस के लिए निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सही है?

What is the heat capacity ratio (γ) for a monoatomic ideal gas? एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए ऊष्मा धारिता अनुपात (γ) क्या है?

Why is C_p greater than C_v for gases? गैसों के लिए C_p, C_v से अधिक क्यों होता है?

For a diatomic gas at room temperature, what is C_v? कमरे के तापमान पर द्विपरमाणुक गैस के लिए C_v क्या है?

What happens to C_p - C_v as an ideal gas approaches zero pressure (infinite dilution)? जब कोई आदर्श गैस शून्य दाब (अनंत तनुता) के करीब पहुँचती है, तो C_p - C_v का क्या होता है?

For liquid water between 0°C and 4°C, which of the following is true? 0°C और 4°C के बीच तरल जल के लिए, निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

Which thermodynamic property is equal to C_p? कौन सा ऊष्मागतिक गुण C_p के बराबर है?

What is the value of γ for a diatomic gas vibrating actively at high temperatures? उच्च तापमान पर सक्रिय रूप से कंपन करने वाली द्विपरमाणुक गैस के लिए γ का मान क्या है?

In the general expression C_p - C_v = [P + (∂U/∂V)_T] (∂V/∂T)_P, what does (∂U/∂V)_T represent? सामान्य व्यंजक C_p - C_v = [P + (∂U/∂V)_T] (∂V/∂T)_P में, (∂U/∂V)_T क्या दर्शाता है?

For an ideal gas, what is the value of internal pressure (∂U/∂V)_T? एक आदर्श गैस के लिए, आंतरिक दाब (∂U/∂V)_T का मान क्या है?

Which gas has the highest value of γ? किस गैस का γ मान सबसे अधिक होता है?

If C_v of a gas is 20 J K^-1 mol^-1, what is its C_p assuming ideal behavior? यदि किसी गैस का C_v, 20 J K^-1 mol^-1 है, तो आदर्श व्यवहार मानते हुए इसका C_p क्या होगा?

What is the ratio C_p/C_v designated as in thermodynamics? ऊष्मागतिकी में C_p/C_v के अनुपात को क्या कहा जाता है?

For solids at room temperature, C_p and C_v are: कमरे के तापमान पर ठोस पदार्थों के लिए, C_p और C_v होते हैं:

What units are standard for molar heat capacities C_p,m and C_v,m in SI? SI में मोलर ऊष्मा धारिता C_p,m और C_v,m के लिए मानक इकाइयाँ क्या हैं?

🏛️ Exam Trends & Question Pattern🏛️ परीक्षा ट्रेंड एवं प्रश्न पैटर्न

⏱️ Timed Topic Test⏱️ समयबद्ध टॉपिक टेस्ट

Instructionsनिर्देश

Relationship between Cp and Cv Cp और Cv के बीच संबंध (Relationship between Cp and Cv)

Derivation of Mayer's Relation for Ideal Gases आदर्श गैसों के लिए मेयर संबंध (Mayer's Relation) की व्युत्पत्ति

Thermodynamic Equation of State for Real Systems वास्तविक निकायों के लिए ऊष्मागतिक अवस्था समीकरण (Thermodynamic Equation of State)

Atomicity and Heat Capacity Ratios (γ) परमाणुकता (Atomicity) और ऊष्मा धारिता अनुपात (γ)

⚡ Quick Revision: Relationship between Cp and Cv ⚡ त्वरित रिवीज़न: Cp और Cv के बीच संबंध (Relationship between Cp and Cv)

First Law Foundation ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम आधार

Enthalpy and Expansion Work एन्थैल्पी और प्रसार कार्य

Degrees of Freedom स्वतंत्रता की कोटियाँ

Real Gas Corrections वास्तविक गैस सुधार

📚 Terms & Units Glossary 📚 पारिभाषिक शब्दावली एवं इकाइयाँ

🎯 Key Takeaways 🎯 महत्वपूर्ण निष्कर्ष (Key Takeaways)

📌 Quick Recall 📌 त्वरित स्मरण (Quick Recall)

⚖️ Key Differences ⚖️ महत्वपूर्ण अंतर (Key Differences)

❓ Practice Questions (19 MCQs)❓ अभ्यास प्रश्न (19 बहुविकल्पीय प्रश्न)

What is the value of Cp - Cv for 2 moles of an ideal gas? 2 मोल आदर्श गैस के लिए Cp - Cv का मान क्या है?

Which of the following relations is correct for a real gas? वास्तविक गैस के लिए निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सही है?

What is the heat capacity ratio (γ) for a monoatomic ideal gas? एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए ऊष्मा धारिता अनुपात (γ) क्या है?

Why is Cp greater than Cv for gases? गैसों के लिए Cp, Cv से अधिक क्यों होता है?

For a diatomic gas at room temperature, what is Cv? कमरे के तापमान पर द्विपरमाणुक गैस के लिए Cv क्या है?

What happens to Cp - Cv as an ideal gas approaches zero pressure (infinite dilution)? जब कोई आदर्श गैस शून्य दाब (अनंत तनुता) के करीब पहुँचती है, तो Cp - Cv का क्या होता है?

For liquid water between 0°C and 4°C, which of the following is true? 0°C और 4°C के बीच तरल जल के लिए, निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

Which thermodynamic property is equal to Cp? कौन सा ऊष्मागतिक गुण Cp के बराबर है?

What is the value of γ for a diatomic gas vibrating actively at high temperatures? उच्च तापमान पर सक्रिय रूप से कंपन करने वाली द्विपरमाणुक गैस के लिए γ का मान क्या है?

In the general expression Cp - Cv = [P + (∂U/∂V)T] (∂V/∂T)P, what does (∂U/∂V)T represent? सामान्य व्यंजक Cp - Cv = [P + (∂U/∂V)T] (∂V/∂T)P में, (∂U/∂V)T क्या दर्शाता है?

For an ideal gas, what is the value of internal pressure (∂U/∂V)T? एक आदर्श गैस के लिए, आंतरिक दाब (∂U/∂V)T का मान क्या है?

Which gas has the highest value of γ? किस गैस का γ मान सबसे अधिक होता है?

If Cv of a gas is 20 J K-1 mol-1, what is its Cp assuming ideal behavior? यदि किसी गैस का Cv, 20 J K-1 mol-1 है, तो आदर्श व्यवहार मानते हुए इसका Cp क्या होगा?

What is the ratio Cp/Cv designated as in thermodynamics? ऊष्मागतिकी में Cp/Cv के अनुपात को क्या कहा जाता है?

For solids at room temperature, Cp and Cv are: कमरे के तापमान पर ठोस पदार्थों के लिए, Cp और Cv होते हैं:

What units are standard for molar heat capacities Cp,m and Cv,m in SI? SI में मोलर ऊष्मा धारिता Cp,m और Cv,m के लिए मानक इकाइयाँ क्या हैं?

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Instructionsनिर्देश

Test Resultपरीक्षा परिणाम

What is the value of C_p - C_v for 2 moles of an ideal gas? 2 मोल आदर्श गैस के लिए C_p - C_v का मान क्या है?

Why is C_p greater than C_v for gases? गैसों के लिए C_p, C_v से अधिक क्यों होता है?

For a diatomic gas at room temperature, what is C_v? कमरे के तापमान पर द्विपरमाणुक गैस के लिए C_v क्या है?

What happens to C_p - C_v as an ideal gas approaches zero pressure (infinite dilution)? जब कोई आदर्श गैस शून्य दाब (अनंत तनुता) के करीब पहुँचती है, तो C_p - C_v का क्या होता है?

Which thermodynamic property is equal to C_p? कौन सा ऊष्मागतिक गुण C_p के बराबर है?

In the general expression C_p - C_v = [P + (∂U/∂V)_T] (∂V/∂T)_P, what does (∂U/∂V)_T represent? सामान्य व्यंजक C_p - C_v = [P + (∂U/∂V)_T] (∂V/∂T)_P में, (∂U/∂V)_T क्या दर्शाता है?

For an ideal gas, what is the value of internal pressure (∂U/∂V)_T? एक आदर्श गैस के लिए, आंतरिक दाब (∂U/∂V)_T का मान क्या है?

If C_v of a gas is 20 J K^-1 mol^-1, what is its C_p assuming ideal behavior? यदि किसी गैस का C_v, 20 J K^-1 mol^-1 है, तो आदर्श व्यवहार मानते हुए इसका C_p क्या होगा?

What is the ratio C_p/C_v designated as in thermodynamics? ऊष्मागतिकी में C_p/C_v के अनुपात को क्या कहा जाता है?

For solids at room temperature, C_p and C_v are: कमरे के तापमान पर ठोस पदार्थों के लिए, C_p और C_v होते हैं:

What units are standard for molar heat capacities C_p,m and C_v,m in SI? SI में मोलर ऊष्मा धारिता C_p,m और C_v,m के लिए मानक इकाइयाँ क्या हैं?